tag:blogger.com,1999:blog-86498142753909682832024-03-04T21:53:20.479-08:00CLASES DE MATEMÁTICASWeb de clases y temas de matemáticas. Aquí encontrarás una gran variedad de ejercicios resueltos y ejemplos para que puedas entender los conceptos matemáticos con facilidad. Nuestro objetivo es hacer que el aprendizaje de las matemáticas sea más ameno y accesible para todos.Unknownnoreply@blogger.comBlogger208125tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-23682506214265257442023-04-09T05:17:00.002-07:002023-04-09T05:18:52.335-07:00Ecuacion de la circunferencia<h2><span style="color: #0b5394;">La
Ecuación de la Circunferencia - Ejercicios Resueltos</span></h2>
<p style="font-weight: bold; text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">
</span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1yu9HI5N84pwjxr_9uptxeHWBVDFoj-3znoc-jLEz2SF-BLNq22Y-cACWB-nMalH9JTpxKi0gM-MK7uh5xcUjBYsrh8xBtBeO59HAYd4TBXBjVGiAUzs1Jlh-FbBdWU5iqvPYYiI3ijR2GLZbNO1PMMitD19VRBe9esfEducc3svHOzcLZ2LXLRhL/s602/ecuacion%20de%20la%20circunferencia.webp" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="510" data-original-width="602" height="271" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1yu9HI5N84pwjxr_9uptxeHWBVDFoj-3znoc-jLEz2SF-BLNq22Y-cACWB-nMalH9JTpxKi0gM-MK7uh5xcUjBYsrh8xBtBeO59HAYd4TBXBjVGiAUzs1Jlh-FbBdWU5iqvPYYiI3ijR2GLZbNO1PMMitD19VRBe9esfEducc3svHOzcLZ2LXLRhL/s320/ecuacion%20de%20la%20circunferencia.webp" width="320" /></a></span></div><p style="font-weight: bold; text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><br /></span></p><p style="font-weight: bold; text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La ecuación de la forma estándar de una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia">círcunferencia</a> es una
forma de expresar la definición de de ésta en el plano de coordenadas.</span></p><p></p><div class="MsoNormal" style="font-weight: bold;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: bold;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">
• En el plano de coordenadas, la fórmula se convierte en:</span></div><div class="MsoNormal" style="font-weight: bold;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">(x-h)<sup>2</sup> + (y-k)<sup>2</sup> = r<sup>2</sup>
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: bold;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">
donde <span style="color: blue;">h</span> y <span style="color: blue;">k</span> son las coordenadas <span style="color: purple;">x</span> e <span style="color: #741b47;">y</span> del
centro del círculo
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: bold;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">
o (x-9)<sup>2</sup> + (y-6)<sup>2</sup> = 100 es un círculo centrado en
(9,6) con un radio de 10
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: bold;">
<span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><br />
</span></div>
<div class="MsoNormal"></div>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: verdana; font-size: large;"><a href="https://unibetas.com/elementos-circunferencia" target="_blank">Introducción a la Circunferencia</a></span></h3><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La circunferencia es una figura geométrica comúnmente vista
en problemas de <b><i><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa" target="_blank">geometría y trigonometría</a></i></b>. </span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Se define como el conjunto de puntos
en un plano que se encuentran a una distancia fija (llamada radio) de un punto
fijo (llamado centro). La ecuación de la circunferencia es una forma de
expresar la relación matemática entre los puntos de la circunferencia y su
centro.<o:p></o:p></span></p><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: verdana; font-size: medium;">Ecuación de la circunferencia</span></h3><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>La ecuación de la circunferencia se escribe en la forma
estándar:</i></b><o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b>(x - h)<sup>2</sup> + (y - k)<sup>2</sup> = r</b><sup><b>2</b><o:p></o:p></sup></span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">donde (<b>h, k</b>) son las coordenadas del centro de la
circunferencia y <b><i>r</i></b> es su radio.<o:p></o:p></span></p><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-family: verdana; font-size: medium;"><i>Ejercicio Resuelto 1</i></span></h4><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en</i></b> el
punto (3, -2) y radio de 5 unidades.<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Para resolver este problema, sustituimos los valores dados
en la ecuación estándar de la circunferencia:<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">(x - 3)<sup>2</sup> + (y + 2)<sup>2</sup> = 25<o:p></o:p></span></p><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-family: verdana; font-size: medium;"><i>Ejercicio Resuelto 2</i></span></h4><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>Encuentre el centro y el radio de la circunferencia con la
ecuación</i></b>:<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">X<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> - 4x + 6y + 9 = 0<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Primero reorganizamos la ecuación para obtener la forma
estándar de la ecuación de la circunferencia. </span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Para hacer esto, agrupamos los
términos que contienen x y y, y luego completamos el cuadrado para cada
término:<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">(x<sup>2</sup> - 4x) + (y<sup>2</sup> + 6y) = -9<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">(x - 2)<sup>2</sup> - 4 + (y + 3)<sup>2</sup> - 9 = -9<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">(x - 2)<sup>2</sup> + (y + 3)<sup>2</sup> = 4<o:p></o:p></span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Por lo tanto, el centro de la circunferencia es (2, -3) y su
radio es 2 unidades.<o:p></o:p></span></p><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: verdana; font-size: medium;"><i>Conclusión sobre la ecuación de la circunferencia</i></span></h3><p>
</p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La ecuación de la circunferencia es una herramienta útil en
la geometría y la trigonometría, ya que nos permite describir la relación
matemática entre los puntos de la <b><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Centro_(geometr%C3%ADa)" target="_blank">circunferencia y su centro</a></b>. </span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Con la práctica,
es fácil usar esta ecuación para resolver problemas de circunferencias en una
variedad de contextos.</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><br /></span></p>Unknownnoreply@blogger.com4PXH+G9 San José, Zac., México24.1488114 -102.2715597-6.7334831663120127 -137.4278097 55.031105966312012 -67.115309699999983tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-84053993150285697342023-04-09T04:48:00.000-07:002023-04-09T04:48:35.730-07:00Teoria de Conjuntos Ejercicios Resueltos<h2><span face="Verdana, sans-serif" style="color: #0b5394;">Teoría de
Conjuntos. Ejercicios</span></h2><p style="text-align: left;"><span face="Verdana, sans-serif" style="font-family: verdana; font-size: medium;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span face="Verdana, sans-serif" style="font-family: verdana; font-size: medium;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMI1PVxY4SVqfTeDcBPL13rVZSVUBEW9j8gjn6fo91wegfMFCGZGJQTR2NtFVfm3iuAlzpbvg9rzBiP3q4wxpOiU_PAlOpRzCQ-Lj1yS_DQ6InyHkriUN7j9KeCY1CSbAbJzyqL7BqnnP-8Cp-qaquzOaBD7X4Sqi-T8S9Nz2eusIgOopF0dNZufVt/s1200/Teoria%20de%20conjuntos%20intersecci%C3%B3n%20de%20conjuntos.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="857" data-original-width="1200" height="230" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMI1PVxY4SVqfTeDcBPL13rVZSVUBEW9j8gjn6fo91wegfMFCGZGJQTR2NtFVfm3iuAlzpbvg9rzBiP3q4wxpOiU_PAlOpRzCQ-Lj1yS_DQ6InyHkriUN7j9KeCY1CSbAbJzyqL7BqnnP-8Cp-qaquzOaBD7X4Sqi-T8S9Nz2eusIgOopF0dNZufVt/w320-h230/Teoria%20de%20conjuntos%20intersecci%C3%B3n%20de%20conjuntos.png" width="320" /></a></span></div><span face="Verdana, sans-serif" style="font-family: verdana; font-size: medium;">La teoría de conjuntos es la rama de
las matemáticas que estudia los conjuntos, que son colecciones de objetos. </span><p></p><p style="text-align: left;"><span face="Verdana, sans-serif" style="font-family: verdana; font-size: medium;">Aunque cualquier tipo de objeto se puede recoger en un conjunto, la
<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos" target="_blank">teoría de conjuntos</a> se aplica con mayor frecuencia a los
objetos que son relevantes para las matemáticas. </span></p><p style="text-align: left;"><span face="Verdana, sans-serif" style="font-family: verdana; font-size: medium;">El lenguaje de la teoría
de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto" target="_blank">conjuntos</a> puede ser utilizado en las definiciones de casi
todos los objetos matemáticos.</span></p>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">La Teoría de Conjuntos: Fundamento de las Matemáticas</span></h3><p style="text-align: left;"><span face="Verdana, sans-serif" style="font-family: verdana; font-size: medium;">El estudio moderno de la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos" target="_blank">teoría de conjuntos</a> fue iniciada por Georg Cantor y Dedekind
Richard en 1870. </span></p><p style="text-align: left;"><span face="Verdana, sans-serif" style="font-family: verdana; font-size: medium;">Después del descubrimiento de las paradojas de la teoría
de conjuntos, numerosos sistemas axiomáticos se propusieron en el siglo XX,
de los cuales los axiomas de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección,
son los más conocidos.</span></p><p style="text-align: left;"><span face="Verdana, sans-serif" style="font-family: verdana; font-size: medium;">La <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos" target="_blank">teoría de conjuntos</a> se refiere a la noción de un conjunto, esencialmente una colección de objetos que llamamos elementos.</span></p><p style="text-align: left;"><span face="Verdana, sans-serif" style="font-family: verdana; font-size: medium;">Debido a su generalidad, la teoría de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto" target="_blank">conjuntos</a> es la base de casi todas las demás partes de las matemáticas.</span></p><div> <h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">Todas las matemáticas se basan en conjuntos</span></h3><p style="text-align: left;"><span face="Verdana, sans-serif" style="font-family: verdana; font-size: medium;">La <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos" target="_blank">teoría de conjuntos</a> se emplea comúnmente como un sistema
fundamental para las matemáticas, particularmente en la forma de la teoría
de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección. </span></p><p style="text-align: left;"><span face="Verdana, sans-serif" style="font-family: verdana; font-size: medium;">Más allá de su
papel fundacional, la teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas en
sí misma, con una comunidad de investigación activa. </span></p><p style="text-align: left;"><span face="Verdana, sans-serif" style="font-family: verdana; font-size: medium;">La investigación
contemporánea en la teoría de conjuntos incluye una colección diversa de
temas, que van desde la estructura de la recta numérica real para el
estudio de la consistencia de los grandes cardinales.</span></p>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">Conceptos básicos de la teoría de conjuntos</span></h3><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: large;"><i>Ejercicios Resueltos</i></span></h4><p style="text-align: left;"><span face="Verdana, sans-serif" style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><span>La</span><span style="color: blue;">
<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos" target="_blank">teoría de conjuntos</a></span></b> se inicia con una relación
binaria fundamental entre un objeto <b>o</b> y un conjunto A. Si <b>o</b>
es un miembro (<b>o</b> elemento) de A, <b>o</b> ∈ A. Puesto que los
conjuntos son objetos, la relación de pertenencia se puede relacionar con
conjuntos también.</span></p>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><span face="Verdana, sans-serif"><b>La Unión</b> de los <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto" target="_blank">conjuntos</a> A y
B, se denotado A ∪ B, es el conjunto de todos los objetos que son miembros
de A, o B, o ambos. La unión de {1, 2, 3} y<br /></span><span face="Verdana, sans-serif">{ 3, 4} es el conjunto {1,
2, 3, 4}.</span></span></p> <p style="text-align: left;"><span face="Verdana, sans-serif" style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b>La Intersección</b> de los conjuntos A y B,
denotada A ∩ B, es el conjunto de todos los objetos que son miembros de A y
B. La intersección de {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es el conjunto {2,
3}.</span></p> <span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><span face="Verdana, sans-serif"><b>Diferencia simétrica</b> de los conjuntos A
y B, denotado A △ B o A ⊖ B, </span><br />
<span face="Verdana, sans-serif">ejemplo, para los conjuntos
{1,2,3} y {2,3,4}, el conjunto diferencia simétrica es {1,4}. Es la
diferencia de conjuntos de la unión y la intersección, (A ∪ B) \ (A ∩ B) o
(A \ B) ∪ (B \ A).</span></span><span face="Verdana, sans-serif"><br /></span> <p style="text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><span face="Verdana, sans-serif"><b>Producto cartesiano</b> de A y B, denotada
A × B, es el conjunto cuyos miembros son todos los posibles pares ordenados
(a, b). El producto cartesiano de {1, 2</span><span face="Verdana, sans-serif">} y</span><span face="Verdana, sans-serif"> {rojo, blanco} es {(1, rojo), (1,
blanco), (2, rojo), (2, blanco)}.</span></span></p> <span face="Verdana, sans-serif" style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b>El Conjunto potencia</b> de un conjunto A
es el conjunto cuyos miembros son todos los posibles subconjuntos de A. Por
ejemplo, el conjunto potencia de {1, 2} es {{}, {1}, {2},
{1,2}}.</span><br />
<br /><br /><br />
<br /><br /></div>Unknownnoreply@blogger.com4MXF+GG El Grullo, Zac., México24.1488114 -103.32624728.24505886695757 -120.9043722 40.052563933042428 -85.7481222tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-58201664215037512692023-04-08T08:48:00.002-07:002023-04-08T16:02:23.803-07:00Ecuacion de la parabola ejercicios resueltos<h2><span style="color: #0b5394; font-family: verdana;">La
Ecuación de la Parábola</span></h2><p style="text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">
En el área de matemáticas, <b>una <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Parabola">parábola</a> es una sección cónica,
creado a partir de la intersección de una superficie cónica circular
derecha y un plano paralelo a una generatriz recta de la superficie</b>. </span></p><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">Parábolas: Definición y Cómo Encontrar su Ecuación a Partir del Foco y la Directriz</span></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Otra
manera de generar una <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Parabola">parábola</a> es examinar un punto
(el foco) y una línea (la directriz). El lugar geométrico de todos los
puntos en ese plano que son equidistantes de la línea es una <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Parabola">parábola</a>. </span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">En álgebra, las
parábolas se encuentran con frecuencia en forma de gráficos de funciones
cuadráticas.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><br /></span></p><div class="separator"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"> <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiycuv1e8_NV4JW-tMnbhyb2D15242EjOfM9kqWh0DJLkptstGoTW-T_NB1eAMor6Gedh_4bKAVipJqcXYb_oRkMCfmk3bs0FXZD9BQnAAlXIPxWJWQLZ79DTRNGUE78zWnMZFty9oUgl8tvzAYaIBIUOiRHhWHBCQGX8giiRl3_AdmUXRoCvEMs5Uo/s700/ecuacion%20y%20grafica%20de%20la%20parabola.webp" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img alt="Ecuacion de la parabola ejercicios resueltos" border="0" data-original-height="510" data-original-width="700" height="233" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiycuv1e8_NV4JW-tMnbhyb2D15242EjOfM9kqWh0DJLkptstGoTW-T_NB1eAMor6Gedh_4bKAVipJqcXYb_oRkMCfmk3bs0FXZD9BQnAAlXIPxWJWQLZ79DTRNGUE78zWnMZFty9oUgl8tvzAYaIBIUOiRHhWHBCQGX8giiRl3_AdmUXRoCvEMs5Uo/w320-h233/ecuacion%20y%20grafica%20de%20la%20parabola.webp" title="Ecuacion de la parabola" width="320" /></a></span></div><p></p><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><br />
</span><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: verdana; font-size: large;">Partes de una Parábola</span></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La línea perpendicular a la directriz que pasa por el foco (es decir, la
línea que divide la parábola a través de la parte central) se llama el "eje
de simetría". </span></p><div><p style="text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">El punto en el eje de simetría que se cruza con la parábola
se llama el "vértice", y es el punto donde la curvatura es mayor. </span></p><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-family: verdana; font-size: medium;"><i>Longitud focal y dirección de apertura en parábolas</i></span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><span>La
distancia entre el vértice y el foco, medida a lo largo del eje de
simetría, es la "longitud focal". Las parábolas puede abrir hacia arriba,
abajo, izquierda, derecha, o en alguna</span> dirección arbitraria.</span></p>
<h3 style="text-align: left;"></h3><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: verdana; font-size: large;">Introducción sobre la ecuación de la parábola</span></h3>
<h4 style="text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><i><span style="color: #990000;">La parábola es una de las secciones cónicas más comunes en
matemáticas</span></i><span style="font-weight: normal;"> </span></span></h4><p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><i>Es la curva que resulta de cortar un cono de revolución con un
plano que forma un ángulo igual al de la generatriz con el eje del cono</i>. </span></span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><span style="font-weight: normal;">La
</span><i>ecuación de la parábola</i><span style="font-weight: normal;"> es una de las formas más comunes para representarla en
el plano cartesiano.<o:p></o:p></span></span></p>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: verdana; font-size: large;">Ecuación de la parábola</span></h3>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><span style="font-weight: normal;">La </span><i>ecuación general de una parábola con vértice en el origen</i><span style="font-weight: normal;">
de coordenadas es:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Y<sup>2</sup> = 4px<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Donde p es la distancia entre el foco y el vértice de la
parábola. Si la parábola está orientada hacia la derecha, la ecuación se
escribe en términos de la coordenada x en lugar de y:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">X<sup>2</sup> = 4py<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La ecuación de la parábola también se puede expresar en
términos de su forma factorizada:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">y = a(x - h)<sup>2</sup> + k<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Donde a, h y k son constantes y (h, k) es el vértice de la
parábola. La constante a determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia
abajo.</span></span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba, mientras que si a < 0,
la parábola se abre hacia abajo.<o:p></o:p></span></span></p>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: verdana; font-size: large;">Propiedades de la parábola</span></h3>
<h4 style="text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><i><span style="color: #990000;">La parábola tiene varias propiedades</span></i></span></h4><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><span style="font-weight: normal;">Estas se pueden utilizar
para determinar sus características, como la dirección de apertura, el vértice,
el foco y la directriz. </span></span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Algunas de estas propiedades incluyen:<o:p></o:p></span></span></p>
<ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
distancia del foco al vértice de la parábola es igual a p, que es la
distancia desde el vértice a la directriz de la parábola.</span></span></li></ul><ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
ecuación de la directriz de la parábola es y = -p si la parábola se abre
hacia arriba o hacia abajo, y x = -p si la parábola se abre hacia la
derecha o hacia la izquierda.</span></span></li></ul><ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">El
vértice de la parábola es el punto (h, k), donde h es la coordenada x del
vértice y k es la coordenada y.</span></span></li></ul><ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
distancia entre el vértice y el foco es la misma que la distancia entre el
vértice y la directriz.</span></span></li></ul><ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Si
la parábola está orientada hacia arriba o hacia abajo, el eje de simetría
es una línea vertical que pasa por el vértice de la parábola. Si la
parábola está orientada hacia la izquierda o hacia la derecha, el eje de
simetría es una línea horizontal que pasa por el vértice.<o:p></o:p></span></span></li>
</ul>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: verdana; font-size: large;">Ejemplos de problemas resueltos</span></h3>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">A continuación, se presentan algunos ejemplos de problemas
que se pueden resolver utilizando la ecuación de la parábola:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><i><b>Ejemplo 1</b></i><span style="font-weight: normal;"><o:p></o:p></span></span></p>
<h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-family: verdana; font-size: medium;"><i><u>Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en (2,3) y
foco en (2,5).</u></i></span></h4>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Solución: El vértice de la parábola es (h,k) = (2,3), por lo
que la ecuación de la parábola tiene la forma: <o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">(y - 3)<sup>2</sup> = 4p(x - 2) Como el foco se encuentra en
(2,5), sabemos que p = 1/4 (la distancia del vértice al foco es la misma que la
distancia del vértice al punto de la parábola más cercano al eje de simetría,
que es la distancia p).<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Sustituyendo p en la ecuación de la parábola, obtenemos:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">(y - 3)<sup>2</sup> = (x - 2)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Lo que nos da la ecuación de la parábola en su forma
canónica.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Ahora podemos encontrar la ecuación en su forma general
despejando la variable y:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Y<sup>2</sup> - 6y + 9 = x - 2<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Moviendo los términos a la izquierda y simplificando,
tenemos:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">x = y<sup>2</sup> - 6y + 11<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Esta es la ecuación de la parábola en su forma general.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><i>Ejemplo 2 </i></span></p><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-family: verdana; font-size: medium;"><i><u>Encuentra la ecuación de la parábola con vértice
en (0,0) y que pasa por el punto (2,8).</u></i></span></h4>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Solución: Como el vértice es el punto (h,k) = (0,0), la
ecuación de la parábola tiene la forma:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Y<sup>2</sup> = 4px<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Donde p es la distancia del vértice al foco y al punto más
cercano de la parábola al eje de simetría. Como no se nos da el valor de p,
debemos encontrarlo usando la información adicional que nos proporciona el
punto (2,8).<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>Primero, encontramos la coordenada x del punto de la
parábola más cercano al eje de simetría. Como el vértice está en el origen, el
punto más cercano al eje de simetría está en x = 0. Sustituyendo x = 0 en la
ecuación de la parábola, obtenemos:</i></b><o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Y<sup>2</sup> = 0<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Por lo que y = 0 es el punto más cercano al eje de simetría.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Ahora podemos encontrar p utilizando la distancia entre el
punto (2,8) y el punto más cercano al eje de simetría, que es:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">p = (2 - 0)/4 = 1/2<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Sustituyendo p en la ecuación de la parábola, obtenemos:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Y<sup>2</sup> = 2x<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Esta es la ecuación de la parábola en su forma canónica.<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Para encontrar la ecuación en su forma general, podemos
despejar la variable x:<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">x = y<sup>2</sup>/2<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Esta es la ecuación de la parábola en su forma general.<o:p></o:p></span></span></p><p style="text-align: left;"><br /></p>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: bold;"><br /></div></div>Unknownnoreply@blogger.com485C+2V El Cobre, Dgo., México25.1075395 -103.67780979.2605151945449187 -121.2559347 40.954563805455081 -86.0996847tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-53271962463788650052023-04-07T09:34:00.001-07:002023-04-08T05:46:33.829-07:00La Media Aritmetica Ejercicios<h2>
<span style="color: #0b5394;">La media
aritmética</span></h2>
<p style="text-align: left;"><span style="font-size: large;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi51Qkb5U7LRX1m9L_mSIrehroiDzfPNBbWt0IZyxDrYfPETLro9mLok4K2tsizW3iOtqlAV31GQFC1egyxq_0IUoJc33fb4LPDEelPJqXw92tKFdpIuqxSNROxe3IS6BJDM7CGn8gYDf7fPWQAFzOc4kJ7nMFgY9n_9lAcXpKnaW54qFSGhRkZTbZd/s700/media%20aritmetica.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Ejercicios resueltos de media aritmetica" border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi51Qkb5U7LRX1m9L_mSIrehroiDzfPNBbWt0IZyxDrYfPETLro9mLok4K2tsizW3iOtqlAV31GQFC1egyxq_0IUoJc33fb4LPDEelPJqXw92tKFdpIuqxSNROxe3IS6BJDM7CGn8gYDf7fPWQAFzOc4kJ7nMFgY9n_9lAcXpKnaW54qFSGhRkZTbZd/w320-h229/media%20aritmetica.png" title="media aritmetica ejercicios" width="320" /></a><span style="font-size: large;"></span></div><span style="font-size: large;">Es una representación matemática del valor típico de
una serie de números, calculada como la suma de todos los números de la
serie dividido por el recuento de todos los números de la misma Serie.</span><p></p>
<p style="text-align: left;"><span style="font-size: large;">La <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Media_aritm%C3%A9tica">media
aritmética</a> se conoce comúnmente como "promedio"</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: large;">En otras palabras la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Media_aritm%C3%A9tica">media aritmética</a>
de un conjunto de datos se obtiene tomando la suma de los datos, y luego
dividiendo la suma por el número total de valores en el conjunto. Esto es
lo que se conoce como un promedio.</span></p>
<p style="text-align: left;"><span style="font-size: large;">Por ejemplo, si usted quiere el promedio de 10, 20, y 27, primero debe
sumarlos para obtener 57. Luego divida por 3, ya que tenemos tres valores,
y tenemos una media aritmética (promedio) de 19.</span></p>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: verdana; font-size: large;">Características de la Media Aritmética</span></h3><div><ol start="1" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
media aritmética es una medida de tendencia central que se utiliza para
representar un conjunto de datos en un solo número.<o:p></o:p></span></blockquote></li>
<li class="MsoNormal"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Se
calcula sumando todos los valores del conjunto de datos y dividiendo el
resultado entre el número de valores.<o:p></o:p></span></blockquote></li>
<li class="MsoNormal"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
media aritmética es sensible a valores extremos o atípicos en el conjunto
de datos, lo que puede afectar su valor.<o:p></o:p></span></blockquote></li>
<li class="MsoNormal"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Si
los datos están distribuidos de manera uniforme, la media aritmética es
una buena representación del conjunto de datos.<o:p></o:p></span></blockquote></li>
<li class="MsoNormal"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Si
los datos están sesgados, la media aritmética puede no ser una buena
medida de tendencia central y otras medidas, como la mediana o la moda,
pueden ser más adecuadas.<o:p></o:p></span></blockquote></li>
<li class="MsoNormal"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
media aritmética puede ser utilizada para comparar conjuntos de datos y
hacer inferencias sobre la población a partir de muestras.<o:p></o:p></span></blockquote></li>
<li class="MsoNormal"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Si
los datos tienen unidades de medida, la media aritmética también tendrá
esas unidades y puede ser interpretada como una cantidad promedio en esa
escala.<o:p></o:p></span></blockquote></li>
<li class="MsoNormal"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
media aritmética tiene propiedades algebraicas útiles, como la propiedad
distributiva, que la hace útil en cálculos matemáticos y estadísticos.</span></blockquote><o:p></o:p></li>
</ol><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">Ejercicios Resueltos</span></h3></div><div><ol start="1" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal" style="mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt;"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Encuentra
la media aritmética de los siguientes números: 4, 8, 12, 16, 20.</span> </blockquote><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b>
La media aritmética se obtiene sumando todos los números y dividiendo
entre la cantidad de números. Así: (4 + 8 + 12 + 16 + 20) / 5 = 12.<o:p></o:p></span></blockquote></li>
<li class="MsoNormal" style="mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt;"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Si
la media aritmética de tres números es 10 y dos de ellos son 4 y 12, ¿cuál
es el tercer número?</span> </blockquote><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b> Primero, sumamos los dos números conocidos:
4 + 12 = 16. Luego, multiplicamos la media aritmética por la cantidad de
números (3): 10 x 3 = 30. Finalmente, restamos la suma de los números
conocidos al total: 30 - 16 = 14. Por lo tanto, el tercer número es 14.<o:p></o:p></span></blockquote></li>
<li class="MsoNormal" style="mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt;"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
media aritmética de cuatro números es 20. Si uno de los números es 30,
¿cuál es la media aritmética de los otros tres números?</span> </blockquote><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b> Primero,
sumamos los cuatro números: 4 x 20 = 80. Luego, restamos el número
conocido (30): 80 - 30 = 50. Ahora dividimos entre la cantidad de números
restantes (3): 50 / 3 = 16.67. Por lo tanto, la media aritmética de los
otros tres números es 16.67.<o:p></o:p></span></blockquote></li>
<li class="MsoNormal" style="mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt;"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Si
la media aritmética de dos números es 15 y uno de ellos es 9, ¿cuál es el
otro número?</span> </blockquote><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b> Primero, multiplicamos la media aritmética por la
cantidad de números (2): 15 x 2 = 30. Luego, restamos el número conocido
(9): 30 - 9 = 21. Por lo tanto, el otro número es 21.<o:p></o:p></span></blockquote></li>
<li class="MsoNormal" style="mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt;"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
media aritmética de cinco números es 12. Si uno de los números es 20,
¿cuál es la media aritmética de los otros cuatro números?</span> </blockquote><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b>
Primero, sumamos los cinco números: 5 x 12 = 60. Luego, restamos el número
conocido (20): 60 - 20 = 40. Ahora dividimos entre la cantidad de números
restantes (4): 40 / 4 = 10. Por lo tanto, la media aritmética de los otros
cuatro números es 10.<o:p></o:p></span></blockquote></li>
<li class="MsoNormal" style="mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt;"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Si
la media aritmética de tres números es 6 y uno de ellos es 3, ¿cuál es la
media aritmética de los otros dos números?</span> </blockquote><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b> Primero,
multiplicamos la media aritmética por la cantidad de números (3): 6 x 3 =
18. Luego, restamos el número conocido (3): 18 - 3 = 15. Ahora dividimos
entre la cantidad de números restantes (2): 15 / 2 = 7.5. Por lo tanto, la
media aritmética de los otros dos números es 7.5.</span></blockquote><o:p></o:p></li>
</ol><br /></div>Unknownnoreply@blogger.com69WG+XQ Chichimequillas, Zac., México23.2474402 -102.6231222-7.6348543663120125 -137.7793722 54.129734766312012 -67.466872199999983tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-43573774507437953332023-04-07T09:16:00.000-07:002023-04-07T09:16:02.191-07:00DISTRIBUCION BINOMIAL - Ejercicios Resueltos<h2><span face="Verdana, sans-serif" style="color: #0b5394;">Ejercicios
de Distribución Binomial</span></h2><h3 style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d; font-size: x-large;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhyL3eBgJkv0gvKkzR3HMip9bv0PECzVXoHUyAxiRIdxnNWvQepwhY0kDoQDIow6dppxdE73Fb8DeKq5iY6EsvGJfBqbkBAYAcvdqIXnCalcxf17F-dLv5QfYf3KA1fbJI3jjTdaLXnArh2XPbCy2svqhi22zuKAz341xZiuTMd__TG1zIG9esnSvZ4/s700/distribucion%20binomial.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhyL3eBgJkv0gvKkzR3HMip9bv0PECzVXoHUyAxiRIdxnNWvQepwhY0kDoQDIow6dppxdE73Fb8DeKq5iY6EsvGJfBqbkBAYAcvdqIXnCalcxf17F-dLv5QfYf3KA1fbJI3jjTdaLXnArh2XPbCy2svqhi22zuKAz341xZiuTMd__TG1zIG9esnSvZ4/s320/distribucion%20binomial.png" width="320" /></a></div>Distribución binomial</span></b></h3>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La <b>distribución binomial es una distribución de probabilidad
discreta</b> que describe el <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial" target="_blank">número de veces que ocurre un evento en una cantidaddeterminada de ensayos independientes y aleatorios</a>, en los que el evento de
interés tiene una <b><i>probabilidad fija de ocurrencia</i></b> en cada ensayo.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>La distribución binomial se describe por dos parámetros</i></b>: <b><i>n</i></b>,
el número de ensayos, y <b><i>p</i></b>, la probabilidad de éxito en cada ensayo. Se
representa matemáticamente como <b><i>B(n, p)</i></b>.<o:p></o:p></span></p>
<h4 style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-family: verdana; font-size: large;"><i>Fórmula de la distribución binomial</i></span></b></h4>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La fórmula para la distribución binomial es:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="EN-US"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b>P(X = k) =
(nCk) * p<sup>k</sup> * (1-p)<sup>(n-k)</sup></b>
<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">donde:<o:p></o:p></span></p>
<ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><i><b>P(X
= k)</b></i> es la probabilidad de que ocurra el evento de interés exactamente k
veces en n ensayos independientes</span></li></ul><ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>nCk</i></b>
representa el coeficiente binomial, que es la cantidad de formas en que se
pueden seleccionar k objetos de un conjunto de n objetos sin importar el
orden</span></li></ul><ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>p</i></b> es
la probabilidad de éxito en cada ensayo</span></li></ul><ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><i><b>(1-p)</b></i>
es la probabilidad de fracaso en cada ensayo</span></li></ul>
<h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-family: verdana; font-size: large;"><i>Algunos aspectos importantes de la distribución
binomial son:</i></span></h4>
<ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Es
una distribución de probabilidad discreta, ya que los resultados posibles
son valores enteros y limitados.</span></li></ul><ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
suma de todas las probabilidades posibles debe ser igual a 1.</span></li></ul><ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
media de la distribución binomial es igual a n*p.</span></li></ul><ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
varianza de la distribución binomial es igual a n<i>p</i>(1-p).<o:p></o:p></span></li>
</ul>
<p class="MsoNormal"><b><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"> </span></b></p>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: verdana; font-size: large;">Principales
características de la distribución binomial</span></h3>
<ol start="1" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
distribución binomial es un modelo de probabilidad discreta que se utiliza
para describir eventos que solo pueden tener dos resultados posibles, como
éxito o fracaso.<span><a name='more'></a></span></span></blockquote></li><li class="MsoNormal"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
distribución binomial se basa en una serie de ensayos independientes y
idénticos, en los cuales la probabilidad de éxito se mantiene constante.<span><!--more--></span></span></blockquote></li><li class="MsoNormal"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Los
parámetros principales de la distribución binomial son el número total de
ensayos (<b><i>n</i></b>) y la probabilidad de éxito (<i><b>p</b></i>).<blockquote><span><!--more--></span></blockquote><o:p></o:p></span></blockquote></li>
<li class="MsoNormal"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
función de probabilidad binomial es simétrica cuando la probabilidad de
éxito es igual a la probabilidad de fracaso.<span><!--more--></span><o:p></o:p></span></blockquote></li>
<li class="MsoNormal"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
media de la distribución binomial es igual a n<i>p, mientras que la
desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de <b>n</b></i><b><i>p</i></b>*(<b><i>1-p</i></b>).<span><!--more--></span><o:p></o:p></span></blockquote></li>
<li class="MsoNormal"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
distribución binomial se utiliza comúnmente en aplicaciones como la teoría
de juegos, la teoría de la fiabilidad, la teoría de inventarios y la
inferencia estadística.<span><!--more--></span><o:p></o:p></span></blockquote></li>
<li class="MsoNormal"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
distribución binomial se puede aproximar por la distribución normal cuando
n es grande y p está cerca de 0,5.<span><!--more--></span><o:p></o:p></span></blockquote></li>
<li class="MsoNormal"><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
distribución binomial es una de las distribuciones más utilizadas en
estadística y probabilidad debido a su simplicidad y aplicabilidad en
diversas situaciones.</span></blockquote></li></ol>
<h4 style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-family: verdana; font-size: large;"><i>Ejemplos Resueltos</i></span></b></h4>
<ol start="1" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Si
un dado justo se lanza 10 veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga un
3 exactamente 3 veces?<o:p></o:p></span></li>
<ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">n =
10 (10 lanzamientos del dado)<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">k =
3 (3 veces que salió el 3)<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">p =
1/6 (la probabilidad de que salga un 3 en cada lanzamiento del dado)<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">P(X
= 3) = (10C3) * (1/6)^3 * (5/6)<sup>7</sup><o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">P(X
= 3) = 0.155</span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><br /></span></li>
</ul>
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Si
un jugador de baloncesto tiene una probabilidad del 70% de encestar un
tiro libre, ¿cuál es la probabilidad de que anote exactamente 5 tiros
libres en 10 intentos?<o:p></o:p></span></li>
<ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">n =
10 (10 tiros libres)<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">k =
5 (5 veces que anotó el tiro libre)<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">p =
0.7 (la probabilidad de que anote el tiro libre en cada intento)<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">P(X
= 5) = (10C5) * (0.7)^5 * (0.3)<sup>5</sup><o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">P(X
= 5) = 0.200<o:p></o:p></span></li>
</ul>
</ol>
<h4 style="text-align: left;"><i style="color: #990000; font-family: verdana;"><span style="font-size: large;">Ejercicios Resueltos</span></i></h4><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b>Ejercicio 1:</b><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Una fábrica de chocolates produce barras de chocolate con
una probabilidad del 85% de que estén en buenas condiciones. Si se inspeccionan
10 barras, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 8 estén en buenas
condiciones?<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Para este problema, necesitamos usar la distribución
binomial, donde </span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">n = 10 (el número de barras inspeccionadas), </span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">p = 0.85 (la
probabilidad de que una barra esté en buenas condiciones)</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">y x = 8 (el número de
barras que queremos que estén en buenas condiciones).<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Entonces, podemos usar la siguiente fórmula:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">P(X = x) = (nCx) * p<sup>x</sup> * (1-p)<sup>(n-x)<o:p></o:p></sup></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Donde nCx es el coeficiente binomial (n combinado con x),
que se puede calcular como n! / (x! * (n-x)!)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Así que tenemos:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">P(X = 8) = (10C8) * 0.85^8 * (1-0.85)<sup>(10-8)<o:p></o:p></sup></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">P(X = 8) = (45) * 0.3274 * 0.0081<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">P(X = 8) = 0.1138<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Por lo tanto, la probabilidad de que exactamente 8 barras
estén en buenas condiciones es del 11.38%.</span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b>Ejercicio 2:</b><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Un estudiante está tomando un examen con 20 preguntas de
opción múltiple. Si el estudiante adivina todas las respuestas, ¿cuál es la
probabilidad de que responda correctamente a exactamente 5 preguntas?<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">De nuevo, podemos usar la distribución binomial, donde n =
20 (el número de preguntas en el examen), p = 0.25 (la probabilidad de adivinar
la respuesta correcta a una pregunta de opción múltiple) y x = 5 (el número de
preguntas que queremos que el estudiante responda correctamente).<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La fórmula a usar es la misma:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">P(X = x) = (nCx) * p<sup>x</sup> * (1-p)<sup>(n-x)<o:p></o:p></sup></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Entonces, tenemos:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">P(X = 5) = (20C5) * 0.25<sup>5</sup> * (1-0.25)<sup>(20-5)<o:p></o:p></sup></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">P(X = 5) = (15504) * 0.0009766 * 0.7738<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">P(X = 5) = 1.199 x 10<sup>-6<o:p></o:p></sup></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Por lo tanto, la probabilidad de que el estudiante responda
correctamente a exactamente 5 preguntas es de 1.199 x 10<sup>-6</sup>.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b>Ejercicio 3:</b><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Resuelve paso a paso el siguiente problema "Un equipo
de fútbol ha ganado el 60% de sus partidos esta temporada. Si el equipo juega 8
partidos más, ¿cuál es la probabilidad de que gane al menos 6 de ellos?"<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Este problema se puede resolver usando la distribución
binomial. La probabilidad de que el equipo gane un solo partido es del 60%, por
lo que la probabilidad de que pierda es del 40%.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Para encontrar la probabilidad de que el equipo gane al
menos 6 de los 8 partidos, debemos calcular la probabilidad de que gane
exactamente 6, 7 u 8 partidos y sumarlas. Podemos usar la fórmula de la
distribución binomial para encontrar cada una de estas probabilidades:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span lang="EN-US"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b>P(X = k) =
(nCk) * p<sup>k</sup> * (1-p)</b><sup><b>(n-k)</b><o:p></o:p></sup></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">donde:<o:p></o:p></span></p>
<ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>n</i></b> es
el número de ensayos o partidos</span></li></ul><ul style="margin-top: 0cm;" type="disc"><li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>k</i></b> es
el número de éxitos o partidos ganados</span></li></ul><ul style="margin-top: 0cm;" type="disc"><li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>p</i></b> es
la probabilidad de éxito en cada ensayo o partido</span></li></ul><ul style="margin-top: 0cm;" type="disc"><li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>(1-p)</i></b>
es la probabilidad de fracaso en cada ensayo o partido</span></li></ul><ul style="margin-top: 0cm;" type="disc"><li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>nCk</i></b>
es el coeficiente binomial que representa el número de formas en que se
pueden elegir k éxitos de un total de n ensayos<o:p></o:p></span></li>
</ul>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Para el problema dado, podemos usar la fórmula para calcular
las probabilidades de ganar exactamente 6, 7 u 8 partidos:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"></p><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">P(X = 6) = (8C6) * 0.6<sup>6</sup> * 0.4<sup>2</sup> = 0.311
P(X = 7) = (8C7) * 0.6<sup>7</sup> * 0.4<sup>1</sup> = 0.376 P(X = 8) = (8C8) *
0.6<sup>8</sup> * 0.4<sup>0</sup> = 0.167<o:p></o:p></span></blockquote><p></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Para encontrar la probabilidad de que gane al menos 6
partidos, debemos sumar estas tres probabilidades:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"></p><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">P(X ≥ 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) =</span> </blockquote><blockquote><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">0.311 + 0.376 +
0.167 = 0.854<o:p></o:p></span></blockquote><p></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Por lo tanto, la probabilidad de que el equipo gane al menos
6 de los 8 partidos restantes es del 85.4%.</span><o:p></o:p></p>
<span face="Verdana, sans-serif"><br /></span><br />Unknownnoreply@blogger.comVCMJ+HJ Ojuelos, Jal., México21.8839825 -101.5684347-8.998312066312014 -136.7246847 52.766277066312014 -66.412184699999983tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-33154891139698677972023-04-07T07:57:00.003-07:002023-04-07T08:01:00.532-07:00EJERCICIOS DE MULTIPLICACIÓN DE MATRICES<h2>
<span style="color: #0b5394; font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">EJERCICIOS DE MULTIPLICACIÓN DE MATRICES</span></h2>
<h3>
<span style="color: #38761d; font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFX5nZTE4DvYK6Wf_l-i2r2a9zmQAM_EsujoN6JvcHvZlgZlutd20_G2-9eI3zEVKo1GFrqDSa0kUGLUSO7rmCHCym0zUAAd783iAHXgZyEE44vlOi9wg1VNmhYwB4DkVaabazP3zmT-5ZGu10zPZKltg5ewgCRDuos9fLYIRnjTwiaFYMsLziVV-i/s700/multiplicacion%20de%20matrices.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFX5nZTE4DvYK6Wf_l-i2r2a9zmQAM_EsujoN6JvcHvZlgZlutd20_G2-9eI3zEVKo1GFrqDSa0kUGLUSO7rmCHCym0zUAAd783iAHXgZyEE44vlOi9wg1VNmhYwB4DkVaabazP3zmT-5ZGu10zPZKltg5ewgCRDuos9fLYIRnjTwiaFYMsLziVV-i/s320/multiplicacion%20de%20matrices.png" width="320" /></a></div>Como multiplicar dos matrices</span></h3>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">La <b>multiplicación de matrices</b> se divide en dos categorías generales:</span></p>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Por un escalar en los que un número se multiplica con cada entrada de una matriz.</span></p>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Multiplicación de toda una matriz por otra matriz entera, la multiplicación de matrices en ésta entrada se referirá a esta segunda categoría.</span></p>
<h3>
<span style="color: #38761d; font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">¿Qué es la multiplicación de la matriz?</span></h3>
<p style="text-align: left;"><span style="color: #073763; font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><b><i>Usted puede multiplicar dos matrices si, y sólo si, el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz.</i></b></span></p>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">De lo contrario, el producto de dos matrices no está definido.</span><br />
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Las dimensiones de la matriz producto son:</span><br />
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">(filas de la primera matriz) × (columnas de la segunda matriz)</span><br />
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><br /></span>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><b>EJERCICIO RESUELTO</b></span></h3>
<br />
<img alt="\begin{pmatrix}
2 &0 \\
4 &6 \\
8 &2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 &3 \\
5 &7
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2\cdot 1+0\cdot 5 &2\cdot 3+0\cdot 7 \\
4\cdot 1+6\cdot 5 &4\cdot 3+6\cdot 7 \\
8\cdot 1+2\cdot 5 &8\cdot 3+2\cdot 7
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 &6 \\
34 &54 \\
18 &38
\end{pmatrix}" src="https://upload.wikimedia.org/math/d/d/b/ddbf01a58312d633f8d4fba12e5c47b4.png" /><br />
<br />
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">La <b><i>multiplicación de matrices</i></b> casi nunca es conmutativa. Veamos que pasa al multiplicar matrices en ambos sentidos.</span></p>
<br />
<img alt="\begin{pmatrix}
1 &2 \\
3 &4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 &6 \\
7 &8
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
19 &22 \\
43 &50
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
5 &6 \\
7 &8
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 &2 \\
3 &4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
23 &34 \\
31 &46
\end{pmatrix}" src="https://upload.wikimedia.org/math/f/5/8/f5837e2a10c8b18c35b40af6f449e6d3.png" /><br />
<br />
<h4>
<span style="color: #990000; font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><i>EJERCICIOS RESUELTOS EN VÍDEO</i></span></h4>
<div>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Introducción: <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n_de_matrices" target="_blank">p</a></span><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n_de_matrices" target="_blank">odemos estudiar los conceptos preliminares sobre las matrices y su orden</a>; esto nos permitirá manejar de forma adecuada los conceptos básicos.</span></div>
<h3>
<span style="color: #38761d; font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: x-large;">Cómo multiplicar matrices</span></h3>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Una matriz es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones en filas y columnas. <b>Para multiplicar matrices, tendrá que multiplicar los elementos</b> (o números) de la fila de la primera matriz por los elementos de las filas de la segunda matriz. Puede multiplicar matrices en tan sólo unos sencillos pasos que veremos a continuación en el siguiente vídeo.</span><br />
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><br /></span>
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="//www.youtube.com/embed/szwRmj2YEjg?rel=0" width="560"></iframe>
<br />
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">En términos generales tenemos que la multiplicación de dos matrices no es conmutativa, esto es:</span><br />
<br />
<img alt="\mathbf{A}\mathbf{B} \neq \mathbf{B}\mathbf{A}" src="https://upload.wikimedia.org/math/2/7/6/276d3aa2d333e867406d09c90faf35b1.png" /><br />
<h4>
<span style="color: #38761d; font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">EJERCICIO DE MULTIPLICACIÓN DE MATRICES</span></h4>
<br />
<img alt="\begin{align}
\begin{pmatrix}
{\color{Brown}1} & {\color{Orange}2} &
{\color{Violet}3} \\
{\color{Brown}4} & {\color{Orange}5} &
{\color{Violet}6} \\
{\color{Brown}7} & {\color{Orange}8} &
{\color{Violet}9} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
{\color{Brown}a} & {\color{Brown}d} \\
{\color{Orange}b} & {\color{Orange}e} \\
{\color{Violet}c} & {\color{Violet}f} \\
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
{\color{Brown}1} \\
{\color{Brown}4} \\
{\color{Brown}7} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
{\color{Brown}{a}} & {\color{Brown}{d}} \\
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
{\color{Orange}2} \\
{\color{Orange}5} \\
{\color{Orange}8}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
{\color{Orange}{b}} & {\color{Orange}{e}} \\
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
{\color{Violet}3} \\
{\color{Violet}6} \\
{\color{Violet}9} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
{\color{Violet}c} & {\color{Violet}f} \\
\end{pmatrix}
\\&=
\begin{pmatrix}
{\color{Brown}{1a}} & {\color{Brown}{1d}} \\
{\color{Brown}{4a}} & {\color{Brown}{4d}} \\
{\color{Brown}{7a}} & {\color{Brown}{7d}} \\
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
{\color{Orange}{2b}} & {\color{Orange}{2e}} \\
{\color{Orange}{5b}} & {\color{Orange}{5e}} \\
{\color{Orange}{8b}} & {\color{Orange}{8e}} \\
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
{\color{Violet}{3c}} & {\color{Violet}{3f}} \\
{\color{Violet}{6c}} & {\color{Violet}{6f}} \\
{\color{Violet}{9c}} & {\color{Violet}{9f}} \\
\end{pmatrix}
\\&=
\begin{pmatrix}
{\color{Brown}{1a}} + {\color{Orange}{2b}} + {\color{Violet}{3c}} & {\color{Brown}{1d}} + {\color{Orange}{2e}} + {\color{Violet}{3f}} \\
{\color{Brown}{4a}} + {\color{Orange}{5b}} + {\color{Violet}{6c}} & {\color{Brown}{4d}} + {\color{Orange}{5e}} + {\color{Violet}{6f}} \\
{\color{Brown}{7a}} + {\color{Orange}{8b}} + {\color{Violet}{9c}} & {\color{Brown}{7d}} + {\color{Orange}{8e}} + {\color{Violet}{9f}} \\
\end{pmatrix}.
\end{align}" src="https://upload.wikimedia.org/math/3/e/7/3e784fdea7d2c64888ab251527011797.png" /><br />
<br />
<h2 style="line-height: 36px; text-align: justify;">
<span style="line-height: 36px;"><span style="color: #38761d; font-family: verdana; font-size: large;">¿Qué es Matrix?</span></span></h2>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; text-align: justify;">
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<p style="line-height: 150%;"><span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;">La
multiplicación de matrices no cumple con la propiedad conmutativa. Al
Multiplicar A x B y B x A, se presentan
resultados diferentes. La multiplicación de matrices es la operación más útil y
más común que se encuentra en las aplicaciones de algunos campos profesionales
como la química.</span></p><p style="line-height: 150%; text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;">Una
matriz es un arreglo de números en filas y columnas que puede ser cuadrada, a
menudo rectangular. </span></p><p style="line-height: 150%; text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;">Se puede establecer las dimensiones como m x n, donde (m)
se refieren al número de filas y (n) al número de columnas. Los valores
individuales que constituyen una matriz son conocidos como sus elementos,
generalmente contemplados en filas y columnas. </span></p><p style="line-height: 150%; text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;">Como hemos expresado, las
matrices tienen una variedad de aplicaciones; por ejemplo en química, también
en el ajuste de curvas y en la mecánica cuántica o la teoría de grupos y
gráficos moleculares. </span></p><div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;">En la multiplicación de la matriz AxB, el número de
columnas de la matriz A debe ser igual al número de filas de la matriz B. La
matriz producto resultante tendrá el mismo número de filas que la matriz A y el
mismo número de columnas que B.<o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<h3 style="line-height: 150%;">
<span style="font-size: 18pt; line-height: 150%;"><span style="color: #0b5394; font-family: verdana;">Matriz
identidad multiplicativa</span></span></h3>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;">La
matriz identidad multiplicativa es una matriz que podemos multiplicar por otra
matriz y la matriz resultante será igual a la matriz original. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;"><br /></span></div>
<h3 style="line-height: 150%;"><span style="font-family: verdana; line-height: 150%;"><span style="color: #0b5394; font-size: large;"><b>Propiedades
de la multiplicación</b></span></span></h3>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;">1.
Cuando trabajamos con matrices, la multiplicación no es conmutativa.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;">AB ≠
BA<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;">2.
la multiplicación de matrices es asociativa. No importa cómo se agrupen tres o
más matrices, cuando estas se multiplican, el resultado no cambia.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;">A(BC)
= (AB) C<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;">3. La
multiplicación de matrices es asociativa, esto es análogo a la multiplicación
algebraica simple. La única diferencia es que se mantenga el orden de la
multiplicación.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;">A(B+C)
= AB + AC ≠ (B + C) A = BA + CA<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;">4.
Si es una matriz cuadrada, existe un elemento de identidad para la multiplicación
de la matriz. Se llama I<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;">IA =
IA = A<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<span style="font-family: verdana; font-size: 12.5pt; line-height: 150%;"><br /></span></div>
<span style="font-family: verdana;"><br />
</span><div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 12.5pt; line-height: 150%;"><span style="font-family: verdana;">Las Matrices
son ampliamente utilizadas en aplicaciones de gráficos de geometría, física e
informática. En muchas aplicaciones es necesario calcular la multiplicación de
la matriz 3 x 3.</span></span></div></div></div></div></div><blockquote style="border: none; margin: 0px 0px 0px 40px; padding: 0px;"><div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; text-align: justify;"><div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;"><div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;"><div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;"><div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;"><br /></div></div></div></div></div></blockquote><div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; text-align: justify;"><div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;"><div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;"><div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;"><h3 style="line-height: 150%;"><span face=""arial" , "sans-serif"" style="line-height: 150%;"><span style="color: #38761d; font-family: verdana; font-size: large;"><a href="https://www.studysmarter.es/resumenes/matematicas/numeros-y-algebra/tipos-de-matrices/" target="_blank">Características de las Matrices</a></span></span></h3><div class="MsoNormal" style="line-height: 150%;"><ul><li><span face=""arial" , "sans-serif"" style="line-height: 150%;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium; text-align: left;">Las
matrices son un arreglo rectangular de elementos, dispuestos en filas y
columnas.</span></span></li></ul><ul><li><span face=""arial" , "sans-serif"" style="line-height: 150%;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium; text-align: left;">Las
matrices pueden ser de distintas dimensiones, es decir, pueden tener
diferentes números de filas y columnas.</span></span></li></ul><ul><li><span face=""arial" , "sans-serif"" style="line-height: 150%;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium; text-align: left;">Las
matrices pueden ser clasificadas según su forma. Una matriz es cuadrada si
tiene el mismo número de filas y columnas, y es rectangular en caso
contrario.</span></span></li></ul><ul><li><span face=""arial" , "sans-serif"" style="line-height: 150%;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium; text-align: left;">Las
matrices pueden ser clasificadas según sus elementos. Una matriz es nula
si todos sus elementos son cero, y es identidad si tiene unos en su
diagonal principal y ceros en el resto de sus elementos.</span></span></li></ul><ul><li><span face=""arial" , "sans-serif"" style="line-height: 150%;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium; text-align: left;">Las
operaciones básicas que se pueden realizar con matrices incluyen la suma y
la multiplicación.</span></span></li></ul><ul><li><span face=""arial" , "sans-serif"" style="line-height: 150%;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium; text-align: left;">La
suma de dos matrices se realiza sumando elemento por elemento.</span></span></li></ul><ul><li><span face=""arial" , "sans-serif"" style="line-height: 150%;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium; text-align: left;">La
multiplicación de dos matrices se realiza multiplicando filas por columnas
y sumando los productos resultantes.</span></span></li></ul><ul><li><span face=""arial" , "sans-serif"" style="line-height: 150%;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium; text-align: left;">Las
matrices también se pueden multiplicar por un escalar, es decir, por un
número.</span></span></li></ul><ul><li><span face=""arial" , "sans-serif"" style="line-height: 150%;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium; text-align: left;">Las
matrices pueden ser transpuestas, es decir, cambiando filas por columnas y
viceversa.</span></span></li></ul><ul><li><span face=""arial" , "sans-serif"" style="line-height: 150%;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium; text-align: left;">Las
matrices pueden ser invertibles o no invertibles, según si existe o no una
matriz inversa que al multiplicarse por la matriz original de como
resultado la matriz identidad.</span></span></li></ul><ul><li><span face=""arial" , "sans-serif"" style="line-height: 150%;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium; text-align: left;">Las
matrices tienen aplicaciones en distintas ramas de las matemáticas y en
otros campos como la física, la informática y la economía.</span></span></li></ul><span face=""arial" , "sans-serif"" style="line-height: 150%;"><ol start="1" style="margin-top: 0cm;" type="1">
</ol></span></div>
</div>
</div>
</div>
</div>
Unknownnoreply@blogger.com6CJJ+2J Las Pilas, Guanajuato, México21.230044 -101.56843475.1615232105278608 -119.1465597 37.298564789472138 -83.9903097tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-42074454275575599482023-04-07T06:16:00.002-07:002023-04-07T06:22:03.460-07:00EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESION GEOMETRICA<h2>
<span style="color: #0b5394; font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">EJERCICIOS DE PROGRESIÓN GEOMÉTRICA</span></h2>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCo40Fz3r7QO0Mh3OpBDCbjcXo7VhUfMNhUFZo3UUiLV1k4cdGd7-UCPIfmxhrlepIOju7694Hp5gpWjIU4kx-epSAEYYPga9k-P9VPMCRymzqwT5HK7fbrtMrN4Rfljp5k6H9cx80uOdDQ2v8pY8voPIXo8SUvgUb0DaAOWas2TpoWp4d3g8LvuXs/s700/progresion%20geometrica.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCo40Fz3r7QO0Mh3OpBDCbjcXo7VhUfMNhUFZo3UUiLV1k4cdGd7-UCPIfmxhrlepIOju7694Hp5gpWjIU4kx-epSAEYYPga9k-P9VPMCRymzqwT5HK7fbrtMrN4Rfljp5k6H9cx80uOdDQ2v8pY8voPIXo8SUvgUb0DaAOWas2TpoWp4d3g8LvuXs/s320/progresion%20geometrica.png" width="320" /></a></span></div><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Una <b><i><span style="color: #0b5394;"><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression" target="_blank">progresión geométrica</a></span></i></b> que es también conocida como una <b>secuencia geométrica</b>, es sencillamente una secuencia de números, donde cada término después del primero se encuentra multiplicando el anterior por un número fijo distinto de cero llamado la razón común. </span><p></p><div><p style="text-align: left;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Ejemplo, la secuencia de 2, 8, 32, 128, ... <b><i>es una progresión geométrica</i></b> con razón común de 4. Del mismo modo 10, 5, 2.5, 1.25, ... es una <b>secuencia geométrica</b> con razón común 1/2.</span></p>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Ejemplos de una <b>secuencia geométrica</b> se pueden establecer con una potencia: <i style="background-color: white; color: #252525; line-height: 22.4px;">r</i><sup style="background-color: white; color: #252525; line-height: 1;"><i>k </i></sup><span style="color: #252525;"><span style="line-height: 13.3333px;"><i>de un número r fijo, como </i></span></span><span style="background-color: white; color: #252525; line-height: 22.4px;"> </span>2<sup style="line-height: 1;"><i>k</i></sup><span style="background-color: white; color: #252525; line-height: 22.4px;"> y 5</span><a class="mw-redirect" href="http://en.wikipedia.org/wiki/Power_of_three" style="background: none rgb(255, 255, 255); color: #0b0080; line-height: 22.4px; text-decoration: none;" title="Power of three"><sup style="background: none rgb(255, 255, 255); color: #0b0080; line-height: 1; text-decoration: none;"><i>k</i></sup></a></span></p><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Forma general de una <b><i>progresión geométrica</i></b></span></h3>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><img alt="a,\ ar,\ ar^2,\ ar^3,\ ar^4,\ \ldots" src="https://upload.wikimedia.org/math/1/5/b/15b1e5bc8f8e8c5e7d46fd177eb625d6.png" /></span><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><br /></span>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">donde r ≠ 0 es la razón común y a es un factor de escala, igual a valor de inicio de la secuencia.</span></p>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">El término enésimo de una progresión geométrica con un valor inicial y razón común r está dada por</span></p>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><img alt="a_n = a\,r^{n-1}." src="https://upload.wikimedia.org/math/6/e/3/6e3a4c25b6fe96d63e07b5325c5cd985.png" /></span><br />
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Tal secuencia geométrica también sigue la relación establecida como:</span><br />
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><img alt="a_n = r\,a_{n-1}" src="https://upload.wikimedia.org/math/e/0/2/e02c7a9627e5a7794916a2dfdf4fae18.png" /> donde n es un entero y <img alt="n\geq 1." src="https://upload.wikimedia.org/math/5/f/c/5fc580f9157e198e1576b451aa74c69f.png" /></span><br />
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><br /></span>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Generalmente, para comprobar si una secuencia dada es geométrico, uno simplemente comprueba si las entradas sucesivas en la secuencia de todas tienen la misma relación.</span></p>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">La razón común de una <b><i>serie geométrica</i></b> puede ser negativa, lo que resulta en una secuencia alterna, con los números de conmutación de positivo a negativo y viceversa. Por ejemplo:</span></p>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">1, -3, 9, -27, 81, -243, ...</span><br />
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">es una secuencia geométrica con relación común de -3.</span><br />
<h3>
<span style="color: #0b5394; font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESIÓN GEOMÉTRICA</span></h3>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Presentamos algunos problemas resueltos paso a paso para reforzar y afianzar los procedimientos. El vídeo muestra varios aspectos importantes.</span></p>
<br />
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="//www.youtube.com/embed/UZDnLqEtE_8?rel=0" width="560"></iframe>
<br />
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><br /></span>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">El comportamiento de una secuencia geométrica depende del valor de la razón común.Si la relación común es:</span></p>
<br />
<ul>
<li><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Positiva, los términos serán todos del mismo signo que el término inicial.</span></li>
<li><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Negativa, los términos se alternarán entre positivo y negativo.</span></li>
<li><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Mayor que 1, habrá un crecimiento exponencial hacia el infinito positivo o negativo (según el signo del término inicial).</span></li>
<li><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">1, la progresión es una secuencia constante.</span></li>
<li><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Entre -1 y 1, pero no cero, habrá decaimiento exponencial a cero.</span></li>
<li><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">-1, La progresión es una secuencia alterna</span></li>
<li><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Menos de -1, para los valores absolutos hay un crecimiento exponencial hacia (sin signo) el infinito, debido a la señal alterna.</span></li>
</ul>
<br />
<h3>
<span style="color: #0b5394; font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRESIONES GEOMÉTRICAS</span></h3>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Un resultado interesante de la definición de una <b><i>progresión geométrica</i></b> es que para cualquier valor de la razón común, cualquiera de los tres aspectos consecutivos a, b y c tendrán que satisfacer la siguiente ecuación:</span></p>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><img alt="b^2=ac" src="https://upload.wikimedia.org/math/b/6/7/b676b8668e26c1a89d056e509b0b9929.png" /></span><br />
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><br /></span>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">donde b se considera que es la media geométrica entre a y c.</span></p>
<h3>
<span style="color: #0b5394; font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESIÓN ARITMÉTICA Y PROGRESIÓN GEOMÉTICA</span></h3>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Veamos en un mismo vídeo tanto la <i><a href="http://clasesmatematicas.blogspot.com/2014/06/ejercicios-resueltos-progresion-aritmetica.html" target="_blank">progresión aritmética</a> </i>como la <b>progresión geométrica</b> y encontrar las semejanzas y las diferencias entre éstas dos secuencias.</span></p>
<br />
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="//www.youtube.com/embed/o-NrUKHpHqY?rel=0" width="560"></iframe><br />
<h4>
<span style="color: #0b5394; font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Serie geométrica</span></h4>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Una <b><i>serie geométrica</i></b> es la suma de los números en una progresión geométrica. Por ejemplo:</span></p>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><img alt="2 + 10 + 50 + 250 = 2 + 2 \times 5 + 2 \times 5^2 + 2 \times 5^3. \," src="https://upload.wikimedia.org/math/6/d/2/6d2e1190be9a9bbb624a79cf2f3d7352.png" /></span><br />
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><br /></span>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Si tenemos que el primer término (en este caso 2), m el número de términos (en este caso 4), y r sea la constante de que cada término se multiplica por conseguir la próxima cantidad (en este caso 5), la suma está dada por:</span></p>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><img alt="\frac{a(1-r^m)}{1-r}" src="https://upload.wikimedia.org/math/f/8/2/f827ba026ce248a9d33ef69e89ec68de.png" /></span><br />
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><br /></span>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;">En el ejemplo anterior, si resolvemos con la fórmula planteada, tenemos que:</span></p>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><img alt="2 + 10 + 50 + 250 = \frac{2(1-5^4)}{1-5} = \frac{-1248}{-4} = 312." src="https://upload.wikimedia.org/math/b/2/6/b26af1b2989e6939824b299f2838694f.png" /></span></div>Unknownnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-28991329215617763772023-04-07T05:10:00.007-07:002023-04-08T16:48:35.307-07:00EJERCICIO DE UTILIDAD, INGRESO TOTAL Y COSTO TOTAL - Matemática para Administración y Economía<h2>
<span style="color: #0b5394; font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;">EJERCICIO DE UTILIDAD, INGRESO TOTAL Y COSTO TOTAL - Matemática para Administración y Economía.</span></h2>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjAVNP7_HR-Oal4nLl45NtLiLIWjFamhOP1KkEifPKEt2ywQHqdaCrayxNbTIGbn48Xwzy-fsHvXXDAR8GmVHhOeOpm_lx1JqhAKHHfX3L4jQUvXUfeWpb3QdYT1ghTwjnUwRzuyNmy8H7gwIfb5nFcjQvVlPh5O7DAG0DQdw-ugK2ueIKGHc-TB2Wv/s700/utilidad%20ingreso%20y%20costo.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Ejercicios resueltos de utilidad, ingreso y costo total" border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjAVNP7_HR-Oal4nLl45NtLiLIWjFamhOP1KkEifPKEt2ywQHqdaCrayxNbTIGbn48Xwzy-fsHvXXDAR8GmVHhOeOpm_lx1JqhAKHHfX3L4jQUvXUfeWpb3QdYT1ghTwjnUwRzuyNmy8H7gwIfb5nFcjQvVlPh5O7DAG0DQdw-ugK2ueIKGHc-TB2Wv/w320-h229/utilidad%20ingreso%20y%20costo.png" title="Ejercicios de utilidad, ingreso y costo" width="320" /></a></span></div><p style="text-align: left;"><span style="font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;">Podemos establecer que el <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Beneficio_econ%C3%B3mico#:~:text=precio%20de%20mercado.-,El%20beneficio%20de%20la%20empresa,caso%20ante%20la%20p%C3%A9rdida%20generada." target="_blank">beneficio total de una empresa</a> se determina por la diferencia entre sus <b><i>ingresos totales</i></b> y sus <b><i><span style="color: #073763;">costos totales.</span></i></b></span></p><div><p style="text-align: left;"><b style="font-family: Georgia, "Times New Roman", serif; font-size: x-large;"><i><span style="color: #073763;">Adicionalmente, </span></i></b><span style="font-family: Georgia, "Times New Roman", serif; font-size: x-large;">los costos totales se calculan sumando los </span><b style="font-family: Georgia, "Times New Roman", serif; font-size: x-large;"><i>costos variables </i></b><span style="font-family: Georgia, "Times New Roman", serif; font-size: x-large;">y los </span><b style="font-family: Georgia, "Times New Roman", serif; font-size: x-large;"><i>costos fijos</i></b><span style="font-family: Georgia, "Times New Roman", serif; font-size: x-large;">.</span></p><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: verdana; font-size: large;">Optimización de ganancias en empresas utilizando matemáticas financieras </span></h3><div><p></p>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;">Una empresa logra maximizar sus ganancias o beneficios totales a corto plazo en el punto en el cual se encuentra la mayor diferencia positiva entre sus<b><i> ingresos totales</i> y sus <i>gastos totales</i></b>.</span></p>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;">Los ejercicios resueltos de utilidad, ingreso total y costo total, nos permiten tomar habilidades que nos permiten estudiar y dominar las <b><i><u><span style="color: #073763;">matemáticas para administración y economía</span></u></i></b>.</span></p>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;">Es de gran importancia practicar problemas y ejercicios de administración y ejercicios de economía.</span></p>
<span style="font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;">A continuación presentamos un problema para su planteamiento:</span><br />
<h3>
<span style="color: #38761d; font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;"><b>PROBLEMA Y EJERCICIO RESUELTO:</b></span></h3>
<span style="font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;"><b>Una compañía fabrica un producto para el cual el costo variable por unidad es de $6 y el costo fijo de $80.000. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determine el número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de $60.000.</b></span><br />
<br />
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="//www.youtube.com/embed/KYoxy_DO0oo" width="560"></iframe>
<br />
<span style="font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;"><br /></span><div><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: verdana; font-size: large;">Cómo una empresa puede obtener más ganancias en un mercado competitivo</span></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;">Para una empresa competitiva la <b><i>maximización de todas sus utilidades</i></b> dependerá básicamente de los ingresos obtenidos por las unidades que ésta logre producir y vender al precio fijado por el mercado. </span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;">A todo ésto se le debe restar los costos de producción y demás.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;">Debido a que la empresa en un mercado perfectamente competitivo no puede influir sobre el mercado limitando su producción para obtener un precio mayor. </span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-family: Georgia, "Times New Roman", serif; font-size: x-large;">Tampoco puede reducir sus precios para aumentar sus ventas, no tiene más remedio que aceptar el precio del mercado.</span></p>
<div>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: x-large;"><a href="https://www.dripcapital.com/es-mx/recursos/blog/utilidad-neta-utilidad-bruta" target="_blank">Utilidad en la Empresa</a></span></h3>
<span style="font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;">Teniendo en cuenta lo anterior para maximizar sus utilidades la empresa trata de ajustar sus volúmenes de producción de tal forma que obtenga con el precio fijado por el mercado la máxima utilidad posible, teniendo en cuenta la estructura de costos que tenga.</span><h4>
<span style="font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;"><span style="color: #0b5394;">INGRESOS:</span> </span></h4>
<p style="text-align: left;"><span style="font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;">Los ingresos corrientes de una empresa cooperativa resultan de las ventas. </span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;">En otras palabras, los ingresos son iguales a la cantidad vendida, multiplicada por el precio unitario y en el caso de una cooperativa de servicios financieros, el total de ingresos está representado por la suma total de los servicios prestados, multiplicados por la tarifa establecida. </span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;">Sin embargo, esos cálculos fríos esconden las verdaderas razones del ingreso de una actividad económica, éstas dependen de dos comportamientos: el del consumidor y el del empresario. Seguidamente, se analiza cada uno de ellos. </span></p>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;"><b><span> Los Costos Variables</span></b> </span></h3></div><p style="text-align: left;"><span style="font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;">Son todos aquellos <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Costo_variable#:~:text=Un%20costo%20variable%20es%20aquel,hace%20esta%20clase%20de%20costos." target="_blank">costos que mantienen una relación directa con las cantidades producidas</a> y varían de manera proporcional, con el uso de la capacidad instalada. </span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-family: Georgia, Times New Roman, serif; font-size: large;">De esta manera, un <b><i>costo variable</i></b> típico consiste en el consumo de las materias primas directas. </span></p><div><br /></div>
</div></div></div>Unknownnoreply@blogger.comH3XJ+W2 La Soledad, Zacatecas, México22.5998494 -101.9199972-8.2824451663120122 -137.0762472 53.482143966312009 -66.763747199999983tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-33180286951960773042023-04-07T05:00:00.005-07:002023-04-07T06:28:51.278-07:00FUNCIONES TRIGONOMETRICAS<h2 style="text-align: left;"><span style="color: #0b5394;">Las
Funciones Trigonométricas</span></h2><div><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><div class="separator" style="clear: both; font-size: x-large; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgffS0WE_T4DwHBL2GxNP7DsTECXdH7TdToclqiQQLyjkcrMWuUwn9GNX1NcgEFxMQO05qRRxvev0nuEQV7DNZr3m0pwkeHuWVqkue6xHEbZjB5xc5cpu744JIgQFKByBaVtJQsRsuKjCKtIf0HkH7R6P8m8aQOmLDfXXk0y6Zy1xereJDuTbJw_cZM/s700/funciones%20trigonometricas.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgffS0WE_T4DwHBL2GxNP7DsTECXdH7TdToclqiQQLyjkcrMWuUwn9GNX1NcgEFxMQO05qRRxvev0nuEQV7DNZr3m0pwkeHuWVqkue6xHEbZjB5xc5cpu744JIgQFKByBaVtJQsRsuKjCKtIf0HkH7R6P8m8aQOmLDfXXk0y6Zy1xereJDuTbJw_cZM/s320/funciones%20trigonometricas.png" width="320" /></a></div><span style="font-size: x-large;">Introducción: </span></span></h3>
<p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Las <b>funciones trigonométricas</b> son un conjunto de funciones
matemáticas que se utilizan para describir y modelar fenómenos periódicos, como
el movimiento oscilatorio, las ondas sonoras y electromagnéticas, entre otros. </span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-size: medium;"><span style="font-family: verdana;">En este artículo, exploraremos las <b style="font-style: italic;">seis funciones trigonométricas básicas:
seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. </b>Además, sus aplicaciones en
la resolución de problemas y situaciones prácticas.</span><o:p></o:p></span></p>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: verdana; font-size: x-large;">Las seis funciones trigonométricas</span></h3>
<h4><ol start="1" style="margin-top: 0cm; text-align: left;" type="1"><li class="MsoNormal"><span style="color: #990000; font-family: verdana; font-size: medium;"><i>Definiciones
y características de las funciones trigonométricas</i></span></li></ol></h4>
<ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">El
seno (sin) es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa de un
triángulo rectángulo.<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">El
coseno (cos) es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa de
un triángulo rectángulo.<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
tangente (tan) es la relación entre el cateto opuesto y el cateto
adyacente de un triángulo rectángulo.<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
cotangente (cot) es la relación entre el cateto adyacente y el cateto
opuesto de un triángulo rectángulo.<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
secante (sec) es la inversa del coseno y es la relación entre la
hipotenusa y el cateto adyacente de un triángulo rectángulo.<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
cosecante (csc) es la inversa del seno y es la relación entre la
hipotenusa y el cateto opuesto de un triángulo rectángulo.<o:p></o:p></span></li>
</ul>
<h4><ol start="2" style="margin-top: 0cm; text-align: left;" type="1"><li class="MsoNormal"><span style="color: #990000; font-family: verdana; font-size: medium;"><i>Propiedades
de las funciones trigonométricas</i></span></li></ol></h4>
<ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Las
funciones seno y coseno son funciones periódicas con un período de 2π.<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
función tangente tiene asíntotas en los ángulos de π/2 y 3π/2.<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
función cotangente tiene asíntotas en los ángulos de 0 y π.<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
función secante tiene asíntotas en los ángulos de π/2 y 3π/2.<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">La
función cosecante tiene asíntotas en los ángulos de 0 y π.<o:p></o:p></span></li>
</ul>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: verdana; font-size: x-large;">Aplicaciones de las funciones trigonométricas</span></h3>
<ol start="1" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>Resolución
de triángulos</i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Las
funciones trigonométricas se utilizan para resolver triángulos rectángulos
y no rectángulos a través de la ley de senos y la ley de cosenos.<o:p></o:p></span></li>
</ul>
<ol start="2" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>Modelado
de fenómenos periódicos</i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Las
funciones trigonométricas se utilizan para modelar fenómenos periódicos,
como el movimiento oscilatorio, las ondas sonoras y electromagnéticas,
entre otros.<o:p></o:p></span></li>
</ul>
<ol start="3" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>Problemas
de física y geometría</i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Las
funciones trigonométricas se utilizan en la resolución de problemas de
física y geometría, como la determinación de la altura de un edificio o la
trayectoria de un proyectil.<o:p></o:p></span></li>
</ul>
<ol start="4" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>Aplicaciones
en la ingeniería y la tecnología</i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<ul style="margin-top: 0cm;" type="disc">
<li class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Las
funciones trigonométricas se utilizan en la ingeniería y la tecnología,
como en el diseño de puentes y edificios, la medición de la altura de un
objeto, la creación de gráficos y animaciones en computadora, entre otros.<o:p></o:p></span></li>
</ul>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: verdana; font-size: x-large;">Ejemplos de problemas resueltos</span></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>Hallar
la medida de los ángulos de un triángulo rectángulo si se conoce la
longitud de sus lados.</i></b></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Supongamos que los lados del triángulo rectángulo son a, b y
c, donde c es la hipotenusa y los ángulos opuestos a los lados a, b y c son A,
B y C respectivamente. Entonces, por el teorema de Pitágoras, tenemos:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">c<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + b<sup>2<o:p></o:p></sup></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Además, sabemos que el ángulo opuesto al lado a es A, el
ángulo opuesto al lado b es B y el ángulo opuesto al lado c es C. Por lo tanto,
tenemos las siguientes relaciones trigonométricas:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">sen A = a/c<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">cos A = b/c<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">tan A = a/b<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">sen B = b/c<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">cos B = a/c<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">tan B = b/a<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Por lo tanto, podemos hallar los ángulos A y B en función de
las longitudes de los lados del triángulo:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span lang="EN-US"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">sen A = a/c<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span lang="EN-US"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">A =
arcsen(a/c)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span lang="EN-US"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">sen B = b/c<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span lang="EN-US"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">B =
arcsen(b/c)<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Y, por último, podemos hallar el ángulo C sumando los
ángulos A y B y restando el resultado de 180 grados:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">C = 180 - A - B<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;"><b>Ejemplo:</b><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo con lados de
longitud a = 3 y b = 4. Queremos hallar la medida de sus ángulos.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Primero, podemos hallar la longitud de la hipotenusa c
usando el teorema de Pitágoras:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">c<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = 3<sup>2</sup>
+ 4<sup>2</sup> = 9 + 16 = 25<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">c = √ (25) = 5<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Luego, podemos hallar los ángulos A y B:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">sen A = a/c = 3/5<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">A = arcsen(3/5) = 36.87 grados<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">sen B = b/c = 4/5<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">B = arcsen(4/5) = 53.13 grados<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Por último, podemos hallar el ángulo C:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">C = 180 - A - B = 180 - 36.87 - 53.13 = 90 grados<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">Por lo tanto, el triángulo rectángulo tiene ángulos de
medida 36.87 grados, 53.13 grados y 90 grados.<o:p></o:p></span></p></div><span style="font-size: medium;"><span style="font-family: verdana;">¿Por qué aprender acerca de las
<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica">funciones
trigonométricas</a>?<br />
<br />
Las <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica">funciones
trigonométricas</a> son muy importantes en temas técnicos como la ciencia,
la ingeniería, la arquitectura, e incluso la medicina. Usted se encontrará
con ellos todo el tiempo, así que vale la pena aprenderlas de forma
adecuada.<br />
<br />
La Topografía es un área de aplicaciones de la trigonometria. Los
fabricantes de carreteras, constructores de puentes y aquellos cuyo trabajo
consiste en construir aplican de manera profunda ésta área de las <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas">matemáticas</a>, la cual
usan en su trabajo.</span><br />
<br /></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTOc9exRHs2B3Ui2kJAMSsSkn4bEty1GP1PgyPr9KeHUvLReICtPDDnPJrScI64hsEWm0C5RQRuEvNPq_y4ZtvNmaHz6d0Xmj_joc9Z0y7tIQTlRxMdbTANb0qE01RpXwMkSzA26pK0wI/s1600/funciones+trigonometricas.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="304" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTOc9exRHs2B3Ui2kJAMSsSkn4bEty1GP1PgyPr9KeHUvLReICtPDDnPJrScI64hsEWm0C5RQRuEvNPq_y4ZtvNmaHz6d0Xmj_joc9Z0y7tIQTlRxMdbTANb0qE01RpXwMkSzA26pK0wI/w588-h304/funciones+trigonometricas.jpg" width="588" /></a>
</div><br />
<br /><p style="text-align: left;"><span style="font-family: verdana; font-size: medium;">
En <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas">matemáticas</a>,
las <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica">funciones
trigonométricas</a> (también llamados las funciones circulares) son
funciones correspondientes a un ángulo. Ellas se utilizan para relacionar
los ángulos de un triángulo y las longitudes de los lados de ese mismo
triángulo. Las <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica">funciones
trigonométricas</a> son importantes en el estudio de los triángulos y los
fenómenos que tienen modelos periódicos, entre otras muchas
aplicaciones.</span></p>
<br />
<h3><br /></h3>
<br /><br />Unknownnoreply@blogger.com44VM+VV Bosques la Florida, S.L.P., México22.1447222 -100.8653097-8.737572366312012 -136.0215597 53.027016766312016 -65.709059699999983tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-51551850855508704612023-04-07T04:20:00.000-07:002023-04-07T04:20:30.521-07:00Rombo Ejercicios<h2 style="text-decoration: underline;"><span style="color: blue;">El Rombo
en <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas">Matemáticas</a></span></h2><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">
</span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-size: medium;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQ4s5mtiv6BH_ZKM5K39_n_pb0Q-DH_b_peeC8c5c66DftRwdsjplkxtdSp7zXq46PiH-nd0W9_mIlel8iYhGgS4sXDOppfVUajLHRxUnmVYi_xNaPpqMcsvdNZQUzX96ucs93Z4041OJqjPGVVsuND-u_maBo601PtWe0FI2fLTuO64f19vTEd48_/s700/rombo.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQ4s5mtiv6BH_ZKM5K39_n_pb0Q-DH_b_peeC8c5c66DftRwdsjplkxtdSp7zXq46PiH-nd0W9_mIlel8iYhGgS4sXDOppfVUajLHRxUnmVYi_xNaPpqMcsvdNZQUzX96ucs93Z4041OJqjPGVVsuND-u_maBo601PtWe0FI2fLTuO64f19vTEd48_/s320/rombo.png" width="320" /></a></span></div><span style="font-size: medium;">En la geometría euclidiana, un <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Rombo">rombo</a> (◊),en plural rombos, es un
cuadrilátero cuyos cuatro lados tienen la misma longitud. Otro nombre es
equilátero cuadrilátero, ya que los medios equiláteros que todos sus lados
son iguales. El rombo es a menudo llamado un diamante,</span><p></p><span style="font-size: medium;">
Cada rombo es un paralelogramo, y un <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Rombo">rombo</a> con ángulos rectos es un
cuadrado. Es decir es en realidad un tipo especial de paralelogramo.
Recordemos que en un paralelogramo cada par de lados opuestos tienen igual
longitud. En un rombo, los cuatro lados tienen la misma longitud y éste
tiene todas las propiedades de un paralelogramo. Ver la definición de un
<a href="http://clasesmatematicas.blogspot.com/2013/02/paralelogramo.html">paralelogramo</a></span><br /><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">
Es un poco como un cuadrado que puede "inclinarse" y los ángulos interiores
no tienen que ser de 90 °. A veces llamado un "diamante" o forma
"pastilla".</span></p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSZ945L-1SAFnv7jaiFlwIqtQD2gv6DR_8-r2VcvuhKndLobuoKuuGSG40N7VqZeCT_Pqy85VvUg4I1jOuNQbqcxr0LDM5_YZzjInijJC6N2afy5VEzjiSFdfuvlV4DMrnIrvUY7yF0R0/s1600/rombo.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="207" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSZ945L-1SAFnv7jaiFlwIqtQD2gv6DR_8-r2VcvuhKndLobuoKuuGSG40N7VqZeCT_Pqy85VvUg4I1jOuNQbqcxr0LDM5_YZzjInijJC6N2afy5VEzjiSFdfuvlV4DMrnIrvUY7yF0R0/w351-h207/rombo.jpg" width="351" /></a>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div>
<h3 style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d; font-size: large;">Introducción al rombo</span></b></h3>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">El rombo es un polígono de cuatro lados, donde los lados
opuestos son paralelos y tienen la misma longitud. El rombo tiene cuatro
ángulos iguales y diagonales perpendiculares entre sí que se cruzan en su punto
medio.</span><o:p></o:p></p>
<h4 style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>Cálculo del perímetro del rombo</i></span></b></h4>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">El perímetro de un rombo se calcula sumando las longitudes
de sus cuatro lados. Si llamamos a la longitud de cada lado "<b><i>a</i></b>",
entonces el perímetro será:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Perímetro = 4*a</i></b></span><o:p></o:p></p>
<h4 style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>Cálculo del área del rombo</i></span></b></h4>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">El área de un rombo se calcula multiplicando la longitud de
las diagonales y dividiendo el resultado por 2. Si llamamos a las diagonales
"d1" y "d2", entonces el área será:</span><o:p></o:p></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><i><b>Área = (d1 * d2) / 2</b></i></span><o:p></o:p></p>
<h3 style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d; font-size: large;"><br /></span></b></h3><h3 style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d; font-size: large;">Ejercicios resueltos</span></b></h3>
<ol start="1" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Un
rombo tiene un lado de longitud 6 cm y una diagonal de 10 cm. Calcula su
perímetro y área.</i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b>Para calcular el perímetro</b>, sumamos la longitud de los
cuatro lados:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Perímetro = 4 * 6 = 24 cm<o:p></o:p></span></p>
<p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b>Para calcular el área</b>, multiplicamos las dos diagonales y dividimos el resultado por 2:</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Área = (6 cm * 10 cm) / 2 = 30 cm<sup>2<o:p></o:p></sup></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><i>Por lo tanto, el perímetro del rombo es de 24 cm y su área
es de 30 cm^2.</i><o:p></o:p></span></p>
<ol start="2" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>La
diagonal de un rombo mide 16 cm y el ángulo que forma con uno de los lados
es de 30 grados. Calcula su perímetro y área.</i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Primero, podemos calcular la longitud de un lado del rombo
utilizando trigonometría:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">cos(30°) = adyacente / hipotenusa<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">cos(30°) = a / (16 / 2)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">a = (16 / 2) * cos(30°)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">a = 6.93 cm (aproximadamente)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b>Para calcular el perímetro</b>, multiplicamos la longitud de un
lado por 4:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Perímetro = 4 * 6.93 cm = 27.72 cm<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b>Para calcular el área</b>, podemos utilizar la fórmula del área
en función de las diagonales:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Área = (d1 * d2) / 2<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Pero como el rombo es equidiagonal, d1 = d2 = 16 cm.
Entonces:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Área = (16 cm * 16 cm) / 2 = 128 cm<sup>2</sup></span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>
Por lo tanto, el perímetro del rombo es de 27.72 cm y su área es de 128 cm</i></b></span><sup><span style="font-size: medium;"><b><i>2</i></b></span><o:p></o:p></sup></p>
<br />Unknownnoreply@blogger.comMéxico23.634501 -102.552784-4.6757328361788453 -137.709034 51.944734836178846 -67.396534tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-53916520085085494032023-04-07T04:01:00.002-07:002023-04-07T04:01:55.433-07:00Variables Separables Ejercicios Resueltos<h2><span style="color: #0b5394;">Variables Separables</span></h2>
<div><h3 style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d; font-size: large;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgdybwaukpeNNXthwfnldODZiAjERZzj2XCcIx0epJV8OvQPHpBDfRrHrKJk0C4V3WzfGTjKghjKsvou0pDWy7Yrbdoqyjc-ARlEWzvghOg2vxqDgC7v5nSJt_F0_I8Vy9iQdyQAavKsndYJGkz2TDt-brx72Aa6H5_rj0kn71-diCvNgeu1jjmGgB/s700/variables%20separables.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgdybwaukpeNNXthwfnldODZiAjERZzj2XCcIx0epJV8OvQPHpBDfRrHrKJk0C4V3WzfGTjKghjKsvou0pDWy7Yrbdoqyjc-ARlEWzvghOg2vxqDgC7v5nSJt_F0_I8Vy9iQdyQAavKsndYJGkz2TDt-brx72Aa6H5_rj0kn71-diCvNgeu1jjmGgB/s320/variables%20separables.png" width="320" /></a></div>Variables separables en ecuaciones diferenciales</span></b></h3>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b>Las ecuaciones diferenciales son una parte fundamental de
las matemáticas y se utilizan para modelar una amplia variedad de fenómenos en
la física, la ingeniería, la economía y otras áreas</b>. Una de las formas más
comunes de <b><i>ecuación diferencial es la ecuación diferencial ordinaria</i></b> (<b>EDO</b>), que
se utiliza para modelar la relación entre una función y su derivada. </span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Una forma
especial de <b>EDO</b> es la ecuación diferencial separable, que se puede resolver
utilizando la técnica de <b>variables separables</b>.</span><o:p></o:p></p>
<h3 style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d; font-size: large;">¿Qué son las ecuaciones diferenciales separables?</span></b></h3>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Una EDO separable es una ecuación que se puede escribir en
la forma:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">dy/dx = f(x)g(y)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Donde f(x) y g(y) son funciones de x e y, respectivamente.
La clave para resolver una EDO separable es separar las variables x e y, de modo
que todas las x estén en un lado de la ecuación y todas las y estén en el otro
lado. Esto se puede hacer mediante la técnica de la multiplicación cruzada, que
implica la multiplicación de ambos lados de la ecuación por el denominador de
una de las funciones. Luego, se integra cada lado por separado para obtener la
solución.</span><o:p></o:p></p>
<h3 style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d; font-size: large;">Pasos para resolver una ecuación diferencial separable</span></b></h3>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Los pasos generales para resolver una ecuación diferencial
separable son los siguientes:<o:p></o:p></span></p>
<ol start="1" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><span style="color: #0b5394;">Escribir
la ecuación en la forma dy/dx = f(x)g(y).</span><o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><span style="color: #741b47;">Separar
las variables x e y.</span><o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><span style="color: #b45f06;">Integrar
ambos lados de la ecuación por separado.</span><o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><span style="color: #134f5c;">Añadir
la constante de integración C.</span><o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="color: #990000; font-size: medium;">Si
es necesario, despejar y para obtener la solución explícita.</span><o:p></o:p></li>
</ol>
<h4 style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>Ejemplos resueltos de ecuaciones diferenciales separables</i></span></b></h4>
<ol start="1" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Resolver
la ecuación diferencial separable dy/dx = x<sup>2</sup> y.</i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">dy/y = x<sup>2</sup> dx Integrando ambos lados obtenemos:
ln|y| = x<sup>3</sup>/3 + C Despejando y: <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">y = e^(x<sup>3</sup>/3+C) = Ke^(x<sup>3</sup>/3), donde K =
+/-e<sup>c</sup> es la constante de integración.<o:p></o:p></span></p>
<ol start="2" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Resolver
la ecuación diferencial separable dy/dx = y<sup>2</sup>/x.</i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">dy/y<sup>2</sup> = dx/x Integrando ambos lados obtenemos:
-1/y = ln|x| + C Despejando y: y = -1/(ln|x| + C), donde C es la constante de
integración.<o:p></o:p></span></p>
<ol start="3" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Resolver
la ecuación diferencial separable dy/dx = xcos(y).</i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">dy/cos(y) = x dx Integrando ambos lados obtenemos: sen(y) =
x<sup>2</sup>/2 + C Despejando y: y = arcsen(x<sup>2</sup>/2 + C), donde C es
la constante de integración.</span><o:p></o:p></p>
<p class="MsoNormal"><o:p> </o:p></p>
<h4 style="text-align: left;"><b><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>Ejercicios resueltos</i></span></b></h4>
<ol start="1" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Resolver
la ecuación diferencial dy/dx = 2xy, con y(0) = 1.</i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<p class="MsoNormal"><b><span style="font-size: medium;">Solución:<o:p></o:p></span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Primero, separamos las variables en la ecuación:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">dy/y = 2x dx<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Integramos ambos lados:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">∫(dy/y) = ∫(2x dx)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">ln|y| = x<sup>2</sup> + C<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">donde C es una constante de integración.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Despejando y:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">|y| = e^(x<sup>2</sup> + C) = e<sup>C</sup> * e^(x<sup>2</sup>)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">y = ± e<sup>C</sup> * e^(x<sup>2</sup>)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Usando la condición inicial y(0) = 1, tenemos:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">1 = ± e<sup>C</sup> * e<sup>0<o:p></o:p></sup></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">1 = ± e<sup>C<o:p></o:p></sup></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, C = 0 y la solución a la ecuación diferencial
es:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">y = e^(x<sup>2</sup>)<o:p></o:p></span></p>
<ol start="2" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Resolver
la ecuación diferencial dy/dx = 3x<sup>2</sup> y<sup>2</sup>, con y(1) =
-1.</i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<p class="MsoNormal"><b><span style="font-size: medium;">Solución:<o:p></o:p></span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Nuevamente, separamos las variables:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">dy/y<sup>2</sup> = 3x<sup>2</sup> dx<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Integramos ambos lados:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">∫(dy/y<sup>2</sup>) = ∫(3x<sup>2</sup> dx)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">-1/y = x<sup>3</sup> + C<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Despejando y:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">y = -1 / (x<sup>3</sup> + C)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Usando la condición inicial y(1) = -1, tenemos:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">-1 = -1 / (1<sup>3</sup> + C)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">C = 0<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, la solución a la ecuación diferencial es:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">y = -1 / x<sup>3<o:p></o:p></sup></span></p>
<ol start="3" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Resolver
la ecuación diferencial dy/dx = (2x + 1) / y, con y(0) = 1.</i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<p class="MsoNormal"><b><span style="font-size: medium;">Solución:<o:p></o:p></span></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Separamos las variables:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">y dy = (2x + 1) dx<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Integramos ambos lados:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">∫(y dy) = ∫((2x + 1) dx)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Y<sup>2</sup> / 2 = x<sup>2</sup> + x + C<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Despejando y:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">y = ± Raíz cuadrada (2x^2 + 2x + 2C)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Usando la condición inicial y(0) = 1, tenemos:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">1 = ± Raíz cuadrada (2(0)<sup>2</sup> + 2(0) + 2C)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">1 = ± Raíz cuadrada (2C)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span lang="EN-US"><span style="font-size: medium;">C = 1/2<o:p></o:p></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, la solución a la ecuación diferencial es:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">y = Raíz cuadrada (2x^2 + 2x + 1)</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><br /></span></p>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">Aplicaciones de la primera y segunda derivada en ecuaciones
diferenciales</span></h3><p class="MsoNormal"><o:p></o:p></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">La primera y segunda derivada de una función tienen
importantes aplicaciones en ecuaciones diferenciales y en problemas de
optimización. A continuación, se presentan algunos ejemplos de cómo se pueden
aplicar las derivadas en ecuaciones diferenciales.</span></p><h4 style="text-align: left;"><i style="color: #990000;"><span style="font-size: medium;">Problema
de la ley de enfriamiento de Newton</span></i></h4><ol start="1" style="margin-top: 0cm;" type="1">
</ol>
<p class="MsoNormal" style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">La ley de enfriamiento de Newton se utiliza para modelar el
proceso de enfriamiento de un objeto a temperatura ambiente. La ecuación
diferencial para la temperatura de un objeto que se enfría en un ambiente a
temperatura constante se puede escribir como:</span><o:p></o:p></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">dT/dt = -k(T - Ta)<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">donde T es la temperatura del objeto, Ta es la temperatura
ambiente y k es una constante de proporcionalidad. La solución a esta ecuación
diferencial es:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">T(t) = Ta + (T0 - Ta) e<sup>-kt</sup><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">donde T0 es la temperatura inicial del objeto en el tiempo
t=0.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b>Para maximizar la tasa de enfriamiento del objeto, debemos
encontrar el valor de t para el cual la tasa de cambio de la temperatura es
máxima</b>. Para ello, podemos utilizar la primera y segunda derivada de la función
T(t). La primera derivada es:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">dT/dt = -k(T0 - Ta) e<sup>-kt</sup><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">La segunda derivada es:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">d<sup>2</sup> /dt<sup>2</sup> = k<sup>2</sup>(T0 - Ta) e<sup>-kt</sup><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Para maximizar la tasa de enfriamiento, debemos encontrar el
valor de t para el cual la segunda derivada es igual a cero</i></b>. Resolviendo la
ecuación d^2T/dt^2 = 0, obtenemos:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">t = ln(2)/k<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, el tiempo necesario para maximizar la tasa de
enfriamiento es ln(2)/k.</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><br /></span></p></div><div>
<br />
</div>Unknownnoreply@blogger.com635J+W2 El Lobo, Zac., México22.209837 -101.9199972-8.672457566312012 -137.0762472 53.092131566312013 -66.763747199999983tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-1957276635704864242023-04-06T15:27:00.000-07:002023-04-06T15:27:50.086-07:00Derivada de una Derivada<h2><span style="color: #0b5394;">Primera y
Segunda Derivada</span></h2><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjuQCNkCKHatcYIGDl9E2Ts5vAB_KRD0-ERqAsy4Lq_4SFlBwmCBr3-bmb3ty6g8nxEPIXSOt0-GdMk_HAnCE59zX3xLpa28UoIwsl7WTwMCk_C1ZptSjzJ7bLjIvOkS5AxEj12iUDgnLdeYLzu8woXCohYoiwF7LO66icjpESLKzGifPXd2_rimUMs/s700/segunda%20derivada.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjuQCNkCKHatcYIGDl9E2Ts5vAB_KRD0-ERqAsy4Lq_4SFlBwmCBr3-bmb3ty6g8nxEPIXSOt0-GdMk_HAnCE59zX3xLpa28UoIwsl7WTwMCk_C1ZptSjzJ7bLjIvOkS5AxEj12iUDgnLdeYLzu8woXCohYoiwF7LO66icjpESLKzGifPXd2_rimUMs/s320/segunda%20derivada.png" width="320" /></a></div>A. Definición de la derivada</span></h3>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">La derivada es una herramienta matemática que nos permite
estudiar la <b>variación de una función en un punto determinado</b>. La derivada de
una función f(x) se define como el límite de la razón incremental cuando el
incremento en x tiende a cero. Es decir:</span><o:p></o:p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="EN-US"><span style="font-size: medium;"><b>f'(x) = lim
(h→0) (f(x+h) - f(x))/h</b></span><o:p></o:p></span></p>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">B. Cálculo de la primera derivada</span></h3><p class="MsoNormal"><o:p></o:p></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b>Para calcular la primera derivada de una función,
simplemente aplicamos la definición de la derivada</b>. Luego de calcular la
derivada, podemos determinar los puntos críticos de la función, que son
aquellos puntos en los que la derivada se anula o no existe. Estos puntos son
importantes para determinar los máximos y mínimos de la función.</span><o:p></o:p></p>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">C. Cálculo de la segunda derivada</span></h3><p class="MsoNormal"><o:p></o:p></p>
<p class="MsoNormal" style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b>La segunda derivada de una función es la derivada de la
derivada</b>. Es decir, si la primera derivada es f'(x), entonces la segunda
derivada es f''(x). </span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b>La segunda derivada nos permite determinar si la función es
cóncava hacia arriba o hacia abajo</b>. Si f''(x) es positiva, entonces la función
es cóncava hacia arriba; si f''(x) es negativa, entonces la función es cóncava
hacia abajo. Los puntos de inflexión de la función son aquellos en los que la
segunda derivada se anula.</span><o:p></o:p></p>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">D. Ejercicios resueltos</span></h3><p class="MsoNormal"><o:p></o:p></p>
<ol start="1" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Calcular
la primera derivada de la función f(x) = x<sup>3</sup> - 3x<sup>2</sup> +
2x + 1.</i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i><span style="color: #990000;">Solución:</span></i></b> f'(x) = 3x<sup>2</sup> - 6x + 2<o:p></o:p></span></p>
<ol start="2" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Calcular
la segunda derivada de la función f(x) = x<sup>3</sup> - 3x<sup>2</sup> +
2x + 1.</i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i><span style="color: #990000;">Solución:</span></i></b> f''(x) = 6x - 6<o:p></o:p></span></p>
<ol start="3" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Dada
la función f(x) = x<sup>2</sup> - 4x + 3, encontrar los puntos críticos y
determinar si la función tiene máximos o mínimos.</i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i><span style="color: #990000;">Solución:</span></i></b> f'(x) = 2x - 4 <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">2x - 4 = 0 x = 2 <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">f''(x) = 2 <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Como f''(x) es positiva para todo x, entonces la función es
cóncava hacia arriba y x = 2 es un mínimo.<o:p></o:p></span></p>
<ol start="4" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Dada
la función f(x) = 2x<sup>3</sup> - 3x<sup>2</sup> - 36x + 5, encontrar los
puntos críticos y determinar si la función tiene máximos o mínimos.</i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i><span style="color: #990000;">Solución:</span></i></b> f'(x) = 6x<sup>2</sup> - 6x - 36 <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">6(x<sup>2</sup> - x - 6) = 0 <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">x = -1 o x = 2 <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">f''(x) = 12x - 6 <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">f''(-1) = -18, <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">f''(2) = 18 <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Como f''(x) cambia de signo en x = -1, este punto es un
máximo y en x = 2 es un mínimo.</span></p><p class="MsoNormal"><b><i><span style="font-size: large;">5. Encuentre
los máximos y mínimos relativos de la función f(x) = x</span><sup>3</sup><span style="font-size: large;"> - 3x</span><sup>2</sup><span style="font-size: large;">
+ 2.</span></i></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i><span style="color: #990000;">Solución:</span></i></b> Primero encontramos la primera derivada de f(x):
f'(x) = 3x<sup>2</sup> - 6x<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">3x<sup>2</sup> - 6x = 0 <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">3x(x - 2) = 0 <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">x = 0, 2<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Encontramos la segunda derivada de f(x): f''(x) = 6x - 6<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos: f''(0)
= -6 < 0, entonces tenemos un máximo relativo en x = 0. f''(2) = 6 > 0,
entonces tenemos un mínimo relativo en x = 2.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, f(x) tiene un máximo relativo en x = 0 y un
mínimo relativo en x = 2.</span></p><p class="MsoNormal"><b><i><span style="font-size: large;">6. Encuentre
los máximos y mínimos relativos de la función f(x) = 4x</span><sup>3</sup><span style="font-size: large;"> - 12x.</span></i></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i><span style="color: #990000;">Solución:</span></i></b> Primero encontramos la primera derivada de f(x):
f'(x) = 12x<sup>2</sup> - 12<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">12x<sup>2</sup> - 12 = 0 <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">12(x<sup>2</sup> - 1) = 0 <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">x = -1, 1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Encontramos la segunda derivada de f(x): f''(x) = 24x<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos:
f''(-1) = -24 < 0, entonces tenemos un máximo relativo en x = -1. f''(1) =
24 > 0, entonces tenemos un mínimo relativo en x = 1.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, f(x) tiene un máximo relativo en x = -1 y un
mínimo relativo en x = 1.</span></p><p class="MsoNormal"><b><i><span style="font-size: large;">7. Encuentre
los máximos y mínimos relativos de la función f(x) = x</span><sup>3</sup><span style="font-size: large;"> - 3x.</span></i></b></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i><span style="color: #990000;">Solución:</span></i></b> Primero encontramos la primera derivada de f(x):
f'(x) = 3x<sup>2</sup> - 3<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">3x<sup>2</sup> - 3 = 0 <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">3(x<sup>2</sup> - 1) = 0 <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">x = -1, 1<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Encontramos la segunda derivada de f(x): f''(x) = 6x<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos: f''(-1)
= -6 < 0, entonces tenemos un máximo relativo en x = -1. f''(1) = 6 > 0,
entonces tenemos un mínimo relativo en x = 1.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, f(x) tiene un máximo relativo en x = -1 y un
mínimo relativo en x = 1.</span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><br /></span></p>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">Aplicaciones de la Primera y Segunda Derivada</span></h3><p class="MsoNormal"><o:p></o:p></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Las aplicaciones de la primera y segunda derivada son
amplias y se encuentran en muchas áreas de las matemáticas y la física. En
general, la derivada de una función describe cómo cambia esa función en un
punto dado, y las aplicaciones de la derivada se basan en el hecho de que las
funciones pueden tener un máximo o mínimo en un punto crítico, lo que puede ser
importante para resolver problemas reales.</span><o:p></o:p></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">A continuación, se presentan algunas aplicaciones comunes de
la primera y segunda derivada:</span><o:p></o:p></p>
<ol start="1" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Encontrar
los puntos críticos: los puntos donde la primera derivada se anula pueden
ser máximos o mínimos locales, o puntos de inflexión en la función. Esto
se puede usar para optimizar la función en algún sentido, como maximizar
las ganancias o minimizar los costos.<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Determinar
la concavidad de una curva: la segunda derivada describe la tasa de cambio
de la pendiente de la función, lo que permite determinar si la función es
cóncava hacia arriba o hacia abajo. Esto se utiliza en análisis de
optimización y en cálculo integral.<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Encontrar
la aceleración y la velocidad: la velocidad es la primera derivada de la
posición, y la aceleración es la segunda derivada de la posición. Estas
aplicaciones son importantes en física y mecánica, donde se necesitan
cálculos precisos de la velocidad y la aceleración para resolver problemas
relacionados con la fuerza y el movimiento.<o:p></o:p></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Encontrar
puntos de inflexión: estos son puntos donde la segunda derivada se anula y
la curvatura de la función cambia de cóncava a convexa o viceversa. Los
puntos de inflexión se utilizan para estudiar la curvatura y la forma de
la función, y son importantes en la geometría analítica.</span></li><li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Estudio de la función a través de la gráfica de
la derivada: una forma de analizar una función es trazar su derivada y estudiar
los cambios de signo en la función derivada. Estos cambios de signo pueden
indicar máximos y mínimos, y pueden ayudar a determinar la forma de la función
original.</span></li></ol> <h4 style="text-align: left;"><b style="font-weight: normal;"><span style="color: #990000; font-size: large;"><i><u>Tabla de Derivadas:</u></i></span></b></h4>
<b style="font-weight: normal;"><br /></b><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjqDCBPG6gl6y3u4nBWYukYmSehH8dMgpQC6yAcXHbqqqEFzbqtDcEK2yC63wvMI_C3VtkUJTJ4boMcNPNjpfNhTUzcnaAOBdLir45_o2fQDwaAboQ7Is9LjZmCl0iE6JMoet_wEIdbAOU/s1600/Derivadas.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjqDCBPG6gl6y3u4nBWYukYmSehH8dMgpQC6yAcXHbqqqEFzbqtDcEK2yC63wvMI_C3VtkUJTJ4boMcNPNjpfNhTUzcnaAOBdLir45_o2fQDwaAboQ7Is9LjZmCl0iE6JMoet_wEIdbAOU/s1600/Derivadas.gif" width="604" /></a>
</div><b style="font-weight: normal;"><br /></b>Unknownnoreply@blogger.com4PXH+G9 San José, Zac., México24.1488114 -102.2715597-6.7334831663120127 -137.4278097 55.031105966312012 -67.115309699999983tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-34207561199334949132023-04-06T13:33:00.001-07:002023-04-06T13:34:03.765-07:00Cubo de un Binomio | Ejercicios Resueltos<h2 style="font-weight: bold;"><span style="color: #0b5394;">Cubo de un Binomio</span></h2><p style="text-align: left;"><b><span style="font-size: medium;"></span></b></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="font-size: medium;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgk9QH_Zw2ESJ7bOwO1tkxjPQ6W8FZIdtEVrTaruPKTBO77Gy7dWJW-fqiLe5wP3hlBhbO8PUE-48a5FkXWM_7VITkwn8vx2fA88BpezqCqS7RCDHN9TXcMThBW-c9Xmfk-H2xC7b123oxbIcWSGwn3yYHXGxAKsJek7DOhT3mpQKcHpavZ9z5bN27P/s700/cubo%20de%20un%20binomio.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgk9QH_Zw2ESJ7bOwO1tkxjPQ6W8FZIdtEVrTaruPKTBO77Gy7dWJW-fqiLe5wP3hlBhbO8PUE-48a5FkXWM_7VITkwn8vx2fA88BpezqCqS7RCDHN9TXcMThBW-c9Xmfk-H2xC7b123oxbIcWSGwn3yYHXGxAKsJek7DOhT3mpQKcHpavZ9z5bN27P/s320/cubo%20de%20un%20binomio.png" width="320" /></a></span></b></div><b><span style="font-size: medium;">El cubo de un binomio es un
producto notable porque su resultado siempre cumple con la misma
regla.</span></b><p></p>
<p style="font-weight: bold; text-align: left;"><span style="font-size: medium;">
En esta parte podemos considerar el binomio si es una suma o si es una
resta.</span></p><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">1. El cubo de la suma de dos cantidades</span></h3><div class="MsoNormal" style="font-weight: bold;"><span style="font-size: medium;">
El cubo de la suma de dos cantidades al cubo, es igual al cubo de la
primera <span style="color: #002060;">más</span> el triple producto
del cuadrado de la primera por la segunda <span style="color: #002060;">más</span> el triple producto de la primera por el
cuadrado de la segunda <span style="color: #002060;">más</span> el
cubo de la segunda.
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: bold;">
<br />
</div><div class="MsoNormal" style="font-weight: bold;"><h3><span style="color: #38761d; font-size: large;">2. El cubo de la diferencia de dos cantidades</span></h3></div>
<p style="font-weight: bold; text-align: left;"><span style="font-size: medium;">
El cubo de la diferencia de dos cantidades elevadas al cubo, es igual
al cubo de la primera <span style="color: #002060;">menos</span> el
triple producto del cuadrado de la primera por la segunda <span style="color: #002060;">más</span> el triple producto de la primera por el
cuadrado de la segunda <span style="color: #002060;">menos</span> el
cubo de la segunda.</span></p>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: bold;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>
Puede notar a continuación que…</i></span></div>
<p style="font-weight: bold; text-align: left;"><span style="color: #351c75; font-size: medium;"><span face="Arial, sans-serif" style="background-color: white; line-height: 115%;">
El exponente de <i style="text-decoration: underline;">a</i> va
disminuyendo mientras que el de <i style="text-decoration: underline;">b</i> va aumentando, y que los signos se
colocan de forma alterna en el caso de la resta</span>.</span></p>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: #073763; font-weight: bold;"><br /></span>
</div>
<p style="font-weight: bold; text-align: left;"><span style="font-size: medium;">
De forma algebraica, utilizando letras que representen los dos términos
tenemos.
</span></p>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: bold;">
<br />
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: bold;"><span style="font-size: medium;">
( a + b )<sup>3</sup> = a<sup>3</sup> + 3 a<sup>2</sup> b + 3 a
b<sup>2</sup> + b<sup>3</sup> si es ( a + b ) todos los signos
son (+)
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: bold;"><span style="font-size: medium;">
( a - b )<sup>3</sup> = a<sup>3</sup> - 3 a<sup>2</sup> b + 3 a
b<sup>2</sup> - b<sup>3</sup> si es ( a - b ) se alternan los
signos.
</span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: bold;"><br /></div><div class="MsoNormal"><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">Desarrollo del cubo de un binomio</span></h3><p class="MsoNormal" style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">El cubo de un binomio es una expresión algebraica de la
forma (a+b)<sup>3</sup>, donde a y b son dos números cualesquiera. Esta
expresión se puede simplificar usando la fórmula del cubo de un binomio, la
cual se expresa como:</span><o:p></o:p></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>(a+b)<sup>3</sup> = a<sup>3</sup> + 3a<sup>2</sup>b + 3ab<sup>2</sup>
+ b</i></b></span><sup><span style="font-size: medium;"><b><i>3</i></b></span><o:p></o:p></sup></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Esta fórmula nos permite expandir el cubo de cualquier
binomio y así facilitar la resolución de problemas algebraicos. A continuación,
se presentarán algunos subtemas importantes para entender mejor el tema del
cubo de un binomio y se resolverán 5 ejercicios paso a paso.</span><o:p></o:p></p>
<br />
<ol start="1" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><i><b>Aplicación de la fórmula
del cubo de un binomio.<o:p></o:p></b></i></span></li>
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><i><b>Ejemplos
de cómo utilizar la fórmula del cubo de un binomio.</b></i></span><o:p></o:p></li>
</ol>
<h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: large;"><i><u>Ejercicios resueltos:</u></i></span></h4>
<ol start="1" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Simplifica
(2x+3)<sup>3</sup></i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Solución: Usando la fórmula del cubo de un binomio, tenemos
que:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">(2x+3)<sup>3</sup> = (2x)<sup>3</sup> + 3(2x)<sup>2</sup>(3)
+ 3(2x)(3)<sup>2</sup> + (3)<sup>3</sup> = </span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">8x<sup>3</sup> + 36x<sup>2</sup> +
54x + 27<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, la expresión simplificada es 8x<sup>3</sup> +
36x<sup>2</sup> + 54x + 27.<o:p></o:p></span></p>
<ol start="2" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Resuelve
(3a-b)<sup>3</sup></i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Solución: Usando la fórmula del cubo de un binomio, tenemos
que:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span lang="EN-US"><span style="font-size: medium;">(3a-b)<sup>3</sup>
= (3a)<sup>3</sup> - 3(3a)<sup>2</sup>(b) + 3(3a)(b)<sup>2</sup> - (b)<sup>3</sup>
= </span></span></p><p class="MsoNormal"><span lang="EN-US"><span style="font-size: medium;">27a<sup>3</sup> - 27a<sup>2</sup>b + 9ab<sup>2</sup> – b<sup>3<o:p></o:p></sup></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, la expresión simplificada es 27a<sup>3</sup> -
27a<sup>2</sup>b + 9ab<sup>2</sup> – b<sup>3</sup>.<o:p></o:p></span></p>
<ol start="3" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Simplifica
(5x-2y)<sup>3</sup></i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Solución: Usando la fórmula del cubo de un binomio, tenemos
que:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">(5x-2y)<sup>3</sup> = (5x)<sup>3</sup> - 3(5x)<sup>2</sup>(2y)
+ 3(5x)(2y)<sup>2</sup> - (2y)<sup>3</sup> = </span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">125x<sup>3</sup> - 150x<sup>2</sup>y
+ 60xy<sup>2</sup> - 8y<sup>3<o:p></o:p></sup></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, la expresión simplificada es 125x<sup>3</sup>
- 150x<sup>2</sup>y + 60xy<sup>2</sup> - 8y<sup>3</sup>.<o:p></o:p></span></p>
<ol start="4" style="margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b><i>Resuelve
(2a+5b)<sup>3</sup></i></b><o:p></o:p></span></li>
</ol>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Solución: Usando la fórmula del cubo de un binomio, tenemos
que:<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span lang="EN-US"><span style="font-size: medium;">(2a+5b)<sup>3</sup>
= (2a)<sup>3</sup> + 3(2a)<sup>2</sup>(5b) + 3(2a)(5b)<sup>2</sup> + (5b)<sup>3</sup>
= </span></span></p><p class="MsoNormal"><span lang="EN-US"><span style="font-size: medium;">8a<sup>3</sup> + 60a<sup>2</sup>b + 150ab<sup>2</sup> + 125b<sup>3<o:p></o:p></sup></span></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, la expresión simplificada es 8ª<sup>3</sup> +
60a<sup>2</sup>b + 150ab<sup>2</sup> + 125b<sup>3</sup>.<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoListParagraph" style="mso-list: l4 level1 lfo5; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;"><!--[if !supportLists]--><span style="font-size: medium;">5.<span style="font-feature-settings: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-stretch: normal; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; font-variation-settings: normal; line-height: normal;"> <b><i>5. </i></b></span><!--[endif]--><b><i>Ejercicio
5: Calcula el cubo de la suma 5x + 2y: <o:p></o:p></i></b></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Solución: (5x + 2y)<sup>3</sup> = (5x)<sup>3</sup> + 3(5x)<sup>2</sup>(2y)
+ 3(5x)(2y)<sup>2</sup> + (2y)<sup>3</sup> = </span></p><p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">125x<sup>3</sup> + 150x<sup>2</sup>y
+ 60xy<sup>2</sup> + 8y<sup>3<o:p></o:p></sup></span></p>
<p class="MsoListParagraph" style="mso-list: l4 level1 lfo5; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;"><!--[if !supportLists]--><span style="font-size: medium;">6.<span style="font-feature-settings: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-stretch: normal; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; font-variation-settings: normal; line-height: normal;"> <b><i>6. </i></b></span><!--[endif]--><b><i>Ejercicio
6: Calcula el cubo de la resta 3a - 4b: </i></b><o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Solución: (3a - 4b)<sup>3</sup> = (3a)<sup>3</sup> - 3(3a)<sup>2</sup>(4b)
+ 3(3a)(4b)<sup>2</sup> - (4b)<sup>3</sup> = 2<o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">7a<sup>3</sup> - 108a<sup>2</sup>b + 144ab<sup>2</sup> - 64b<sup>3<o:p></o:p></sup></span></p>
<p class="MsoListParagraph" style="mso-list: l4 level1 lfo5; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;"><!--[if !supportLists]--><span style="font-size: medium;">7.<span style="font-feature-settings: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-stretch: normal; font-variant-alternates: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; font-variation-settings: normal; line-height: normal;"> </span><!--[endif]-->Ejercicio
7: Calcula el cubo de la suma 2x + 3: <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">Solución: (2x + 3)<sup>3</sup> = (2x)<sup>3</sup> + 3(2x)<sup>2</sup>(3)
+ 3(2x)(3)<sup>2</sup> + (3)<sup>3</sup> = <o:p></o:p></span></p>
<p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">8x<sup>3</sup> + 36x<sup>2</sup> + 54x + 27</span><o:p></o:p></p>
<br /><br /></div>Unknownnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-1537120019521720422023-04-06T06:33:00.000-07:002023-04-06T06:33:54.247-07:00Desigualdades Lineales Ejercicios Resueltos<h2><span style="color: #0b5394;">Desigualdades Lineales</span></h2><div><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4fmQ66B2qLO2bV3vfqkjrfl4yXIAlYN6Z69wcLROvoulVrBuUf70rOXZueYMUZ8o8YcNk4NM7Uz4aVqCvdcqJF0r2Eb6hBVc1_pfo1Q-ot-zutdibj41Vg_b9ns2ZVUuxH0dHIBrNnwYYu-QLkehxpR8Gw8zr8qCVw7NZJ1Jh9ESAB_fdMJMHF_bI/s700/desigualdades%20lineales.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4fmQ66B2qLO2bV3vfqkjrfl4yXIAlYN6Z69wcLROvoulVrBuUf70rOXZueYMUZ8o8YcNk4NM7Uz4aVqCvdcqJF0r2Eb6hBVc1_pfo1Q-ot-zutdibj41Vg_b9ns2ZVUuxH0dHIBrNnwYYu-QLkehxpR8Gw8zr8qCVw7NZJ1Jh9ESAB_fdMJMHF_bI/s320/desigualdades%20lineales.png" width="320" /></a></div>Introducción a las desigualdades</span></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">En matemáticas, una desigualdad es una relación en la que se compara si dos cantidades son iguales o diferentes, o si una cantidad es mayor o menor que otra. </span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">En el caso de las <b>desigualdades lineales</b>, las cantidades que se comparan son lineales, es decir, son expresiones algebraicas de primer grado con una variable.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">A continuación, presentamos los aspectos a tener en cuenta sobre este tema.</span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 1.25em 0px;"></p><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">Subtemas sobre las desigualdades lineales</span></h3><div style="text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li><span style="font-size: medium;">A. <span style="color: #351c75;"><b><i>Desigualdades lineales con una variable.</i> </b></span></span></li><li><span style="font-size: medium;">B. <span style="color: #990000;"><b><i>Resolución de desigualdades lineales. </i></b></span></span></li><li><span style="font-size: medium;">C. <b><span style="color: #b45f06;"><i>Representación gráfica de desigualdades lineales.</i></span></b></span></li></ul></div><p></p><h4 style="text-align: left;"><span style="font-size: large;"><span style="color: #351c75;">A. <i><u>Desigualdades lineales con una variable</u></i></span><span style="color: #990000;">:</span></span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Una desigualdad lineal con una variable tiene la forma ax + b < c o ax + b > c</i></b>, <i>donde <b>a</b>, <b>b</b> y <b>c</b> son números reales y <b>x</b> es la variable.</i></span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_primer_grado" target="_blank">Al igual que en las ecuaciones lineales</a>, se pueden realizar operaciones matemáticas para despejar <b><i>x</i></b> de la desigualdad. Sin embargo, hay que tener en cuenta que al multiplicar o dividir ambos lados de la desigualdad por un número negativo, se debe <b><i>invertir el signo de la desigualdad.</i></b></span></p></div><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica#:~:text=La%20notaci%C3%B3n%20a%20%E2%89%A0%20b,o%20siquiera%20si%20son%20comparables." target="_blank">Símbolos en una desigualdad</a></span></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Una <b>desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas</b> relacionadas con alguno de los símbolos >,<,≥ o ≤.</span></p>
<p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Una <b>inecuación o desigualdad </b>es lo mismo que una ecuación pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.</span></p>
<p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">
Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que
están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro
de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo
miembro.</span></p>
<div class="MsoNoSpacing"><span style="font-size: medium;">
De la definición de desigualdad, se deduce que:</span><br />
<ol>
<li><b>Todo número positivo es mayor que cero</b></li>
<li><b>Todo número negativo es menor que cero</b></li>
<li><b>Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor
valor absoluto</b></li>
<li><b>Si a > b entonces b < a.</b></li>
</ol>
</div>
<p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">
Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos en las
<b>desigualdades</b>, dependiendo si el primer miembro es mayor o menor
que el segundo. Se dice que una <b>desigualdad</b> cambia de sentido,
cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.</span></p>
<div class="MsoNoSpacing">
<h3></h3><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: large;">B. <i><u>Resolución de desigualdades lineales:</u></i></span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Para resolver una desigualdad lineal, se deben seguir los siguientes pasos:</span></p><ol style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; font-weight: 400; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Despejar la variable en un lado de la desigualdad.</span></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Si se multiplica o divide ambos lados por un número negativo, se debe invertir el signo de la desigualdad.</span></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Simplificar la desigualdad, combinando términos semejantes si es posible.</span></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Graficar la solución en la recta numérica, como se explicará en el subtema C.</span></span></li></ol><span style="font-size: medium;"><b><i><u>Ejercicios Resueltos:</u></i></b></span><ol style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><i><b>Resolver la desigualdad 2x - 3 > 5.</b>
2x - 3 + 3 > 5 + 3
2x > 8
x > 4
La solución es x > 4.</i></span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><i><b>Resolver la desigualdad -4x + 7 ≤ 3x - 2.</b>
-4x + 7 - 3x + 2 ≤ 0
-7x + 9 ≤ 0
-7x ≤ -9
x ≥ 9/7
La solución es x ≥ 9/7.</i></span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><i><b>Resolver la desigualdad 2x + 1 < x - 5.</b>
2x - x < -5 - 1
x < -6
La solución es x < -6.</i></span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><i><b>Resolver la desigualdad -3x + 2 ≥ 5x - 1.</b>
-3x + 2 - 5x + 1 ≥ 0
-8x + 3 ≥ 0
-8x ≥ -3
x ≤ 3/8
La solución es x ≤ 3/8.</i></span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><i><b>Resolver la desigualdad 4x - 7 > 3 - 2x + 5.</b>
4x + 2x > 8
6x > 8
x > 4/3
La solución es x > 4/3.</i></span></span></p></li></ol><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #b45f06; font-size: large;">C. <i><u>Representación gráfica de desigualdades lineales:</u></i></span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Para representar gráficamente la solución de una desigualdad lineal con una variable, se pueden seguir los siguientes pasos:</span></p><ol style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; font-weight: 400; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="color: #0b5394; font-size: medium;"><i>Despejar la variable en un lado de la desigualdad. Por ejemplo, si tenemos la desigualdad 2x + 3 < 7, podemos despejar x restando 3 a ambos lados: 2x < 4.</i></span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="color: #b45f06; font-size: medium;"><i>Dividir ambos lados de la desigualdad por el coeficiente de la variable, si es necesario. En este caso, podemos dividir ambos lados por 2: x < 2.</i></span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="color: #741b47; font-size: medium;"><i>Representar la solución en una recta numérica. En este caso, la solución es x < 2, lo que significa que x puede tomar cualquier valor menor que 2. Podemos representar esta solución en una recta numérica dibujando un círculo abierto en el número 2 (ya que 2 no es una solución válida) y una flecha hacia la izquierda para indicar que la solución incluye todos los números menores que 2.</i></span></span></p></li></ol><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Ejemplo:</i></b> Representar gráficamente la solución de la desigualdad 3x - 2 > 7.</span></p><ol style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; font-weight: 400; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><i>Despejamos la variable sumando 2 a ambos lados: 3x > 9.</i></span></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><i>Dividimos ambos lados por 3: x > 3.</i></span></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><i>Representamos la solución en una recta numérica dibujando un círculo abierto en el número 3 y una flecha hacia la derecha para indicar que la solución incluye todos los números mayores que 3.</i></span></span></li></ol><span style="font-size: medium;"><b><i><u>Ejemplos resueltos:</u></i></b></span><ol style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Resolver la desigualdad 2x - 5 < 7.</i></b></span></span></li></ol><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Primero, despejamos la variable sumando 5 a ambos lados: 2x < 12. </span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Luego, dividimos ambos lados por 2: x < 6. La solución es x < 6, lo que significa que x puede tomar cualquier valor menor que 6.</span></p><ol start="2" style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Resolver la desigualdad -3x + 4 > 1.</i></b></span></span></li></ol><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Primero, despejamos la variable restando 4 a ambos lados: -3x > -3. </span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Luego, dividimos ambos lados por -3, recordando cambiar el sentido de la desigualdad: </span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">x < 1. </span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">La solución es x < 1, lo que significa que x puede tomar cualquier valor menor que 1.</span></p><ol start="3" style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Resolver la desigualdad 4x + 3 ≤ 11.</i></b></span></span></li></ol><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Primero, despejamos la variable restando 3 a ambos lados: 4x ≤ 8. </span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Luego, dividimos ambos lados por 4: x ≤ 2. </span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">La solución es x ≤ 2, significa que x puede tomar cualquier valor menor o igual que 2.</span></p><ol start="4" style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Resolver la desigualdad -2x + 6 > 10.</i></b></span></span></li></ol><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Primero, despejamos la variable restando 6 a ambos lados: -2x > 4. </span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Luego, dividimos ambos lados por -2, recordando cambiar el sentido de la desigualdad: </span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">x < -2. </span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">La solución es x < -2, lo que significa que x puede tomar cualquier valor menor que -2.</span></p><ol start="5" style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Resolver la desigualdad 5 - x ≥ 3.</i></b></span></span></li></ol><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Primero, despejamos la variable restando 5 a ambos lados: -x ≥ -2. </span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Luego, multiplicamos ambos lados por -1, recordando que al multiplicar o dividir por un número negativo se invierte la desigualdad:</span></p><span style="font-size: medium;">(-1)(-x) ≤ (-1)(-2) </span></div><div class="MsoNoSpacing"><span style="font-size: medium;"><br /></span></div><div class="MsoNoSpacing"><span style="font-size: medium;">x ≤ 2</span><br /><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, la solución de la desigualdad es x ≤ 2, lo que indica que el conjunto solución incluye todos los valores de x que son iguales o menores que 2.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><br /></span></p><span style="font-size: medium;"><b><i><u>Más Ejercicios Resueltos:</u></i></b></span><ol style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Resuelve la desigualdad 3x + 1 > 4x - 2.</i></b></span></span></li></ol><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Primero, restamos 3x a ambos lados:</span></p><span style="font-size: medium;"><i>3x + 1 - 3x > 4x - 2 - 3x</i></span></div><div class="MsoNoSpacing"><span style="font-size: medium;"><i><br />1 > x - 2</i></span></div><div class="MsoNoSpacing"><span style="font-size: medium;"><i><br /></i></span><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Luego, sumamos 2 a ambos lados:</span></p><span style="font-size: medium;"><i>1 + 2 > x - 2 + 2</i></span></div><div class="MsoNoSpacing"><span style="font-size: medium;"><i><br />3 > x</i></span></div><div class="MsoNoSpacing"><br /></div><div class="MsoNoSpacing"><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, la solución de la desigualdad es x < 3.</span></p><ol start="2" style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Resuelve la desigualdad 2 - 5x ≤ 1 + 4x.</i></b></span></span></li></ol><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Primero, restamos 2 a ambos lados:</span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 1.25em 0px;"></p><div><span style="font-size: medium;"><i>2 - 5x - 2 ≤ 1 + 4x - 2</i></span></div><br /><div style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><i>-5x ≤ 4x - 1</i></span></div><p></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Luego, restamos 4x a ambos lados:</span></p><span style="font-size: medium;"><i>-5x - 4x ≤ -1</i></span></div><div class="MsoNoSpacing"><span style="font-size: medium;"><i><br />-9x ≤ -1</i></span></div><div class="MsoNoSpacing"><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Finalmente, dividimos ambos lados por -9, recordando invertir la desigualdad:</span></p><span style="font-size: medium;"><i>x ≥ 1/9</i></span></div><div class="MsoNoSpacing"><span style="font-size: medium;"><i><br /></i></span><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, la solución de la desigualdad es <b><i>x ≥ 1/9</i></b>.</span></p><ol start="3" style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Resuelve la desigualdad -2x + 4 > 6x - 8.</i></b></span></span></li></ol><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Primero, restamos 6x a ambos lados:</span></p><span style="font-size: medium;"><i>-2x + 4 - 6x > -8</i></span></div><div class="MsoNoSpacing"><span style="font-size: medium;"><i><br />-8x + 4 > -8</i></span></div><div class="MsoNoSpacing"><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Luego, restamos 4 a ambos lados:</span></p><span style="font-size: medium;"><i>-8x > -12</i></span></div><div class="MsoNoSpacing"><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Finalmente, dividimos ambos lados por -8, recordando invertir la desigualdad:</span></p><span style="font-size: medium;"><i>x < 3/2</i></span></div><div class="MsoNoSpacing"><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, la solución de la desigualdad es <b><i>x < 3/2.</i></b></span></p><ol start="4" style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Resuelve la desigualdad -3(2x - 1) < 5x + 7.</i></b></span></span></li></ol><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Primero, distribuimos el -3:</span></p><span style="font-size: medium;"><i>-6x + 3 < 5x + 7</i></span></div><div class="MsoNoSpacing"><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Luego, restamos 5x y sumamos 3 a ambos lados:</span></p><span style="font-size: medium;"><i>-11x < 4</i></span></div><div class="MsoNoSpacing"><h4 style="text-align: left;"><span style="font-size: medium; font-weight: normal;">Finalmente, dividimos ambos lados por -11, recordando invertir la desigualdad:</span></h4><span style="font-size: medium;"><i>x > -4/11</i></span></div><div class="MsoNoSpacing"><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, la solución de la desigualdad es <b><i>x > -4/11.</i></b></span></p><ol start="5" style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Resuelve la desigualdad 3x - 4 < x + 8.</i></b></span></span></li></ol><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Primero, restamos x a ambos lados:</span></p><span style="font-size: medium;"><i>2x - 4 < 8</i></span></div><div class="MsoNoSpacing"><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Luego, sumamos 4 a ambos lados:</span></p><span style="font-size: medium;"><i>2x < 12</i></span></div><div class="MsoNoSpacing"><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Finalmente, dividimos ambos lados por 2:</span></p><span style="font-size: medium;"><i>x < 6</i></span></div><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, la solución de la desigualdad es <b><i>x < 6.</i></b></span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i><br /></i></b></span></p>Unknownnoreply@blogger.com4JX9+GJ San Ignacio, Dgo., México24.1488114 -104.3809347-6.7334831663120127 -139.5371847 55.031105966312012 -69.224684699999983tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-42274334682094480912023-04-05T16:19:00.000-07:002023-04-05T16:19:01.403-07:00Identidades Trigonométricas Ejercicios Resueltos<h2><span style="color: #0b5394;">Identidades Trigonométricas Ejercicios
Resueltos</span></h2><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-size: medium;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnymLOWPZAdkAbAs4MAasJ-QPLNK06hSZiSIb-XAdD4kU-2VAzGx-dMcB3aRzkOrCYlUrOkcPMKjGdJtJAkcCydCK86wxFtrKH8Kh7tNmdALH2vCAi1Q4Zws-SVf39WX_lldxAr1PHmpLfX6ckxLhv2Ed15k10Q3FUovbZRHzz_7dcx56BxV9CkzP9/s700/identidades%20trigonometricas.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="256" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnymLOWPZAdkAbAs4MAasJ-QPLNK06hSZiSIb-XAdD4kU-2VAzGx-dMcB3aRzkOrCYlUrOkcPMKjGdJtJAkcCydCK86wxFtrKH8Kh7tNmdALH2vCAi1Q4Zws-SVf39WX_lldxAr1PHmpLfX6ckxLhv2Ed15k10Q3FUovbZRHzz_7dcx56BxV9CkzP9/w359-h256/identidades%20trigonometricas.png" width="359" /></a></span></div><span style="font-size: medium;"><br />Las <b>identidades trigonométricas</b> son igualdades que involucran
<b>funciones trigonométricas</b>. Estas identidades son siempre útiles para
cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones
trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los
ángulos para los cuales están definidas estas razones.</span><p></p>
<h3><span style="color: #38761d; font-size: large;">Equivalencia de identidades
trigonométricas</span></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Las <b>identidades trigonométricas nos permiten
plantear una misma expresión de diferentes formas</b>. Para simplificar
expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes,
etc. Pero para simplificar <b>expresiones trigonométricas</b> utilizaremos estas
técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.</span></p><div><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">Tema: Identidades Trigonométricas</span></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Las identidades trigonométricas son ecuaciones que relacionan las funciones trigonométricas entre sí. Estas ecuaciones son muy útiles para simplificar expresiones trigonométricas y resolver ecuaciones trigonométricas. En esta explicación, se abordarán los siguientes subtemas:</span></p><p style="text-align: left;"></p><ul style="text-align: left;"><li><span style="font-size: medium;">A. <span style="color: #990000;">Identidades trigonométricas básicas </span></span></li><li><span style="font-size: medium;">B. <span style="color: #38761d;">Identidades trigonométricas complementarias </span></span></li><li><span style="font-size: medium;">C. <span style="color: #134f5c;">Identidades trigonométricas reciprocas </span></span></li><li><span style="font-size: medium;">D. <span style="color: #741b47;">Ejemplos resueltos</span></span></li></ul><p></p><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>A. Identidades trigonométricas básicas</i></span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Las identidades trigonométricas básicas son las siguientes:</span></p><span style="font-size: medium;"><ul style="text-align: left;"><li><span style="font-size: medium;">sen^2(x) + cos^2(x) = 1</span></li><li>1 + tan^2(x) = sec^2(x)</li><li>1 + cot^2(x) = csc^2(x)</li></ul></span><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Estas identidades son conocidas como las identidades fundamentales de la trigonometría y son verdaderas para cualquier valor de x.</span></p><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>B. Identidades trigonométricas complementarias</i></span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Las identidades trigonométricas complementarias son aquellas que relacionan las funciones trigonométricas de ángulos complementarios. Las siguientes son las identidades complementarias:</span></p><span style="font-size: medium;"><ol style="text-align: left;"><li><span style="font-size: medium;">sen(x) = cos(90° - x)</span></li><li>cos(x) = sen(90° - x)</li><li>tan(x) = cot(90° - x)</li><li>cot(x) = tan(90° - x)</li><li>sec(x) = csc(90° - x)</li><li>csc(x) = sec(90° - x)</li></ol></span><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>C. Identidades trigonométricas reciprocas</i></span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Las identidades trigonométricas reciprocas son aquellas que relacionan las funciones trigonométricas de un ángulo con las funciones trigonométricas de su ángulo complementario. Las siguientes son las identidades reciprocas:</span></p><span style="font-size: medium;"><ol style="text-align: left;"><li><span style="font-size: medium;">sen(x) = csc(90° - x)</span></li><li>cos(x) = sec(90° - x)</li><li>tan(x) = cot(90° - x)</li><li>cot(x) = tan(90° - x)</li><li>sec(x) = cos(90° - x)</li><li>csc(x) = sen(90° - x)</li></ol></span><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;"><br /></span></h3><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">Ejercicios resueltos</span></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">1. Simplificar la expresión: sen(x) * cot(x) / csc(x)</span></p><span style="color: #990000; font-size: medium;"><b><i>Solución: </i></b></span></div><div><span style="font-size: medium;">sen(x) * cot(x) / csc(x) = (sen(x) / csc(x)) * (cos(x) / sen(x)) * (sin(x) / 1) = cos(x)</span></div><div><span style="font-size: medium;"><br /></span><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">2. Resolver la ecuación: 2cos^2(x) - 3cos(x) + 1 = 0</span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; margin: 1.25em 0px; white-space: pre-wrap;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b><i><span style="color: #990000;">Solución:
</span></i></b><span style="color: #374151;">Se puede observar que esta ecuación cuadrática puede ser factorizada como sigue:
(2cos(x) - 1)(cos(x) - 1) = 0
De esta manera, se tiene que:
cos(x) = 1/2 o cos(x) = 1
Por lo que las soluciones de la ecuación son:
x = π/3 + 2kπ o x = 2kπ</span></span></span></p><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">Ejemplos resueltos</span></h3><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; margin: 1.25em 0px; white-space: pre-wrap;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b>Ejemplo 1:</b>
Simplificar la expresión trigonométrica: 2cos^2(x) - 1
<b>Solución:</b>
Usando la identidad trigonométrica fundamental cos^2(x) + sin^2(x) = 1, podemos expresar cos^2(x) como 1 - sin^2(x). Así, la expresión se puede reescribir como:
2cos^2(x) - 1 = 2(1 - sin^2(x)) - 1 = 2 - 2sin^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)
Por lo tanto, 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)</span></span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; margin: 1.25em 0px; white-space: pre-wrap;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b>Ejemplo 2:</b>
Simplificar la expresión trigonométrica: 2sin(x)cos(x)
<b>Solución:</b>
Podemos usar la identidad trigonométrica sin(2x) = 2sin(x)cos(x) para reescribir la expresión como:
2sin(x)cos(x) = sin(2x)
Por lo tanto, 2sin(x)cos(x) = sin(2x)</span></span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; margin: 1.25em 0px; white-space: pre-wrap;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b>Ejemplo 3:</b>
Simplificar la expresión trigonométrica: (sec(x) + tan(x))^2
<b>Solución:</b>
Usando las identidades trigonométricas sec(x) = 1/cos(x) y tan(x) = sin(x)/cos(x), podemos reescribir la expresión como:
(sec(x) + tan(x))^2 = (1/cos(x) + sin(x)/cos(x))^2 = ((1+sin(x))/cos(x))^2
Por lo tanto, (sec(x) + tan(x))^2 = ((1+sin(x))/cos(x))^2</span></span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; margin: 1.25em 0px; white-space: pre-wrap;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b>Ejemplo 4:</b>
Simplificar la expresión trigonométrica: (1 - cos(x))/(sin^2(x))
<b>Solución:</b>
Usando la identidad trigonométrica fundamental sin^2(x) + cos^2(x) = 1, podemos reescribir la expresión como:
(1 - cos(x))/(sin^2(x)) = (sin^2(x))/(sin^2(x)) - (cos(x))/(sin^2(x)) = 1/sin^2(x) - cot^2(x)/sin^2(x) = (1 - cos^2(x))/sin^2(x) = sin^2(x)/sin^2(x) = 1
Por lo tanto, (1 - cos(x))/(sin^2(x)) = 1</span></span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; margin: 1.25em 0px 0px; white-space: pre-wrap;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b>Ejemplo 5:</b>
Simplificar la expresión trigonométrica: (sin(x) - cos(x))^2
<b>Solución:</b>
Usando las identidades trigonométricas sin^2(x) + cos^2(x) = 1 y 2sin(x)cos(x) = sin(2x), podemos reescribir la expresión como:
(sin(x) - cos(x))^2 = sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) + cos^2(x) = sin^2(x) - sin(2x) + cos^2(x) = 1 - sin(2x)
Por lo tanto, (sin(x) - cos(x))^2 = 1 - sin(2x)</span></span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; background-color: #f7f7f8; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; font-size: 16px; margin: 1.25em 0px 0px; white-space: pre-wrap;"><br /></p></div>Unknownnoreply@blogger.com685C+WV Totuate, Jalisco, México22.209837 -103.6778097-8.672457566312012 -138.8340597 53.092131566312013 -68.521559699999983tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-77454650619171787152023-04-05T15:52:00.000-07:002023-04-05T15:52:31.038-07:00Regla de Ruffini Ejercicios Resueltos<h2><span style="color: #0b5394;">Regla de Ruffini Ejercicios
Resueltos</span></h2><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-size: medium;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBM2Olq7KbhK6HJNfh6k4YEWJ1Y-mdh26Ei2uhaP5rIajA_6_tFlIs1M-wL2iPdOA_9Qu5t6Tut4Eh6oqT59UI6yvmWKgtD5Ixuix7eKw-1ZLaMZqa2djE2kSme2_CsG7tjKVqqw_idag4gOX6j-KHKoih5dlznlmh7Xag8CFSkgnlLKwHra_Vl1V2/s700/ruffini.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBM2Olq7KbhK6HJNfh6k4YEWJ1Y-mdh26Ei2uhaP5rIajA_6_tFlIs1M-wL2iPdOA_9Qu5t6Tut4Eh6oqT59UI6yvmWKgtD5Ixuix7eKw-1ZLaMZqa2djE2kSme2_CsG7tjKVqqw_idag4gOX6j-KHKoih5dlznlmh7Xag8CFSkgnlLKwHra_Vl1V2/s320/ruffini.png" width="320" /></a></span></div><span style="font-size: medium;">En <b>matemáticas</b>, la <b>regla de Ruffini</b>
facilita el <i>cálculo rápido de la división</i>. La <b>regla de Ruffini</b> es un
algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la
división de un polinomio por un <span style="color: #38761d; font-style: italic; font-weight: bold;">binomio de la forma
x-a.</span></span><p></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">
En este artículo se explica la Regla de ruffini o <b>división sintética</b>
que nos sirve en algunos casos para factorizar. Este tipo de división solo
lo podemos utilizar cuando tengamos división por cocientes de grado uno.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">
Normalmente una división de polinomios en algebra es un proceso largo hasta
la obtención del residuo, en cambio con el proceso de ruffini (recordemos
que solo se puede utilizar cuando tengamos un divisor de tipo (x-a) o
también (x+a). Si tenemos este tipo de divisor lo primero que hacemos es
escribir los coeficientes del polinomio de grado mayor a menor y por último
los números.</span></p>
<h3><p style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">La Regla de Ruffini</span></p><span style="font-size: medium; font-weight: normal;">Es un método utilizado para dividir polinomios de una sola variable por un binomio de la forma (x - a). El proceso se realiza de la siguiente manera:</span><ol style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; font-weight: 400; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="font-size: medium;"><i style="background-color: white;">Se escribe el polinomio a dividir en orden descendente de grado.</i></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="font-size: medium;"><i style="background-color: white;">Se escribe el número a, que es el opuesto del término independiente</i></span><i style="background-color: white; font-size: large;"> (x - a).</i></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="font-size: medium;"><i style="background-color: white;">Se coloca el número a en una línea vertical a la izquierda del polinomio.</i></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="font-size: medium;"><i style="background-color: white;">Se escriben los coeficientes del polinomio en diagonal, comenzando por el coeficiente del término de mayor grado, hasta el término independiente.</i></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="font-size: medium;"><i style="background-color: white;">Se traza una línea debajo del último coeficiente.</i></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="font-size: medium;"><i style="background-color: white;">Se multiplica el número a por el coeficiente del término de mayor grado y se coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente.</i></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="font-size: medium;"><i style="background-color: white;">Se suma ese resultado con el siguiente coeficiente y se coloca el resultado debajo del tercer coeficiente.</i></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="font-size: medium;"><i style="background-color: white;">Se repite el proceso de sumar y multiplicar hasta llegar al último coeficiente.</i></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="font-size: medium;"><i style="background-color: white;">Si el último número de la última línea es igual al resto (el término independiente del polinomio original), la división se ha realizado correctamente.</i></span></li></ol><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium; font-weight: normal;">Ahora, vamos a ver algunos ejemplos resueltos paso a paso:</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Ejercicio 1:</span><span style="font-size: medium; font-weight: normal;"> Divide el polinomio x^3 - 3x^2 + 2x + 1 entre (x - 1).</span></p><div style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>Solución:</i></span></div><ol style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; font-weight: 400; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white; font-size: medium;">Escribimos el polinomio en orden descendente de grado: x^3 - 3x^2 + 2x + 1.</span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white; font-size: medium;">Obtenemos el número a, que es el opuesto del término independiente del binomio (x - a): a = 1.</span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white; font-size: medium;">Colocamos el número a en una línea vertical a la izquierda del polinomio:</span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white; font-size: medium;">1 |</span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white; font-size: medium;">Escribimos los coeficientes del polinomio en diagonal:</span></p></li></ol><div><span style="color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, Segoe UI, Roboto, Ubuntu, Cantarell, Noto Sans, sans-serif, Helvetica Neue, Arial, Apple Color Emoji, Segoe UI Emoji, Segoe UI Symbol, Noto Color Emoji;"><span style="font-size: 16px; font-weight: 400; white-space: pre-wrap;"><br /></span></span></div><div><p class="MsoNormal">1 |<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>-3<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>2<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>1<o:p></o:p></p>
<p class="MsoNormal"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>___________<o:p></o:p></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium; font-weight: normal;">5. Tras la línea, añadimos un espacio para el resultado de la operación:</span></p></div><div><span style="background-color: #f7f7f8; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; font-size: 16px; font-weight: 400; white-space: pre-wrap;"><br /></span></div><div><p class="MsoNormal">1 |<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>-3<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>2<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>1<o:p></o:p></p>
<p class="MsoNormal"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>___________<o:p></o:p></p><p class="MsoNormal"><br /></p><p style="text-align: left;"><span style="font-weight: normal;"><span style="font-size: medium;">6. Multiplicamos el número a (1) por el coeficiente del término de mayor grado (x^3) y escribimos el resultado debajo del siguiente coeficiente:</span></span></p><p class="MsoNormal">1 | -3 2 1<o:p></o:p></p><p class="MsoNormal"> ___________<o:p></o:p></p><p class="MsoNormal">
</p><p class="MsoNormal"> 1<o:p></o:p></p><p class="MsoNormal"><br /></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium; font-weight: normal;">7. Sumamos ese resultado con el siguiente coeficiente y escribimos el resultado debajo del tercer coeficiente:</span></p><p class="MsoNormal"><span style="background-color: #f7f7f8; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; font-size: 16px; font-weight: 400; white-space: pre-wrap;"><br /></span></p><p class="MsoNormal">1 | -3 2 1<o:p></o:p></p><p class="MsoNormal"> ___________<o:p></o:p></p><p class="MsoNormal">
</p><p class="MsoNormal"> 1 -2<o:p></o:p></p><p class="MsoNormal"><br /></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium; font-weight: normal;">8. Repetimos el proceso de sumar y multiplicar hasta llegar al último coeficiente:</span></p><p class="MsoNormal">1 | -3 2 1<o:p></o:p></p><p class="MsoNormal"> ___________<o:p></o:p></p><p class="MsoNormal"> 1 -2 4<o:p></o:p></p><p class="MsoNormal"> 2 -2<o:p></o:p></p><p class="MsoNormal"> _____<o:p></o:p></p><p class="MsoNormal">
</p><p class="MsoNormal"> 0 2<o:p></o:p></p><p class="MsoNormal"><br /></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium; font-weight: normal;">9. Como el último número de la última línea es 2, que es igual al término independiente del polinomio original, la división se ha realizado correctamente. Por lo tanto, la solución es:</span></p><p class="MsoNormal">x^3 - 3x^2<o:p></o:p></p><p class="MsoNormal"><br /></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Ejercicio 2:</span><span style="font-size: medium; font-weight: normal;"> Divide el polinomio P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 2x^2 - 7x - 4 entre el polinomio Q(x) = x + 2, utilizando la regla de Ruffini.</span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 1.25em 0px;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>Solución:</i></span><span style="color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, Segoe UI, Roboto, Ubuntu, Cantarell, Noto Sans, sans-serif, Helvetica Neue, Arial, Apple Color Emoji, Segoe UI Emoji, Segoe UI Symbol, Noto Color Emoji;"><span style="background-color: #f7f7f8; font-size: 16px; font-weight: 400; white-space: pre-wrap;">
</span></span><span style="font-size: medium; font-weight: normal;">Para utilizar la regla de Ruffini, primero se debe determinar el coeficiente principal de Q(x), que en este caso es 1. Luego, se colocan los coeficientes de P(x) en orden descendente en la primera fila de la tabla y se escribe el coeficiente principal de Q(x) en la segunda fila, dejando un espacio en blanco entre ellos. </span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium; font-weight: normal;">En la tercera fila se escribe el primer término de P(x), y en las celdas restantes se escriben los resultados de multiplicar el término de la fila anterior por el coeficiente principal de Q(x). Estos resultados se suman diagonalmente y se escriben en la cuarta fila. A continuación, se repite este proceso con los términos restantes de P(x) hasta completar la tabla.</span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; font-size: 16px; font-weight: 400; margin: 1.25em 0px; white-space: pre-wrap;"><span style="background-color: #f7f7f8;">
</span><span style="background-color: white;">
</span></p><p class="MsoNormal"><span style="background-color: white;"> | 3
5 -2 -7
-4</span><o:p></o:p></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; font-size: 16px; font-weight: 400; margin: 1.25em 0px; white-space: pre-wrap;"><span style="background-color: #f7f7f8;">
</span><span style="background-color: white;">
</span></p><p class="MsoNormal"><span style="background-color: white;">-2 | 3 -1
3 -15 26</span></p><p class="MsoNormal"><span style="background-color: white;"> |_____________________</span></p><p class="MsoNormal"><span style="background-color: white;"> 3 2
-3 -10 22</span><o:p></o:p></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium; font-weight: normal;"> Por lo tanto, la división de P(x) entre Q(x) es:</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium; font-weight: normal;">P(x) = Q(x) * C(x) + R(x) 3x^4 + 5x^3 - 2x^2 - 7x - 4 = (x + 2) * (3x^3 + 2x^2 - 3x - 10) + 22</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium; font-weight: normal;">Entonces, el cociente es C(x) = 3x^3 + 2x^2 - 3x - 10 y el resto es R(x) = 22.</span></p><p style="text-align: left;"><br /></p><p><span style="font-size: medium;">Ejercicio 2:</span><span style="font-size: medium; font-weight: normal;"> Divide el polinomio P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 entre el polinomio Q(x) = x - 1, utilizando la regla de Ruffini.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><i><span style="color: #990000;">Solución:</span></i><span style="font-weight: normal;"> En este caso, la tabla quedaría así:</span></span></p><br /> | 2 -5 3 1<br /><br /><br /> 1 | 2 -3 6 7<br /><br /> |_________________<br /><br /><br /> 2 -3 6 7<br /><br /><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium; font-weight: normal;">Por lo tanto, la división de P(x) entre Q(x) es:</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium; font-weight: normal;"><br />P(x) = Q(x) * C(x) + R(x) 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 = (x - 1) * (2x^2 - 3x + 6) + 7</span></p><span style="font-size: medium; font-weight: normal;"><br />Entonces, el cociente es C(x) = 2x^2 - 3x + 6 y el resto es R(x) = 7.</span><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; background-color: #f7f7f8; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; font-size: 16px; font-weight: 400; margin: 1.25em 0px; white-space: pre-wrap;">
</p><span style="background-color: #f7f7f8; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; font-size: 16px; font-weight: 400; white-space: pre-wrap;"></span></div></h3>Unknownnoreply@blogger.com8C6J+RJ El Castillo, S.L.P., México23.3120323 -101.56843477.3598346712977545 -119.1465597 39.264229928702242 -83.9903097tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-62359914798633578982023-04-05T11:40:00.000-07:002023-04-05T11:40:13.646-07:00Productos Notables Ejercicios Resueltos<h2><span style="color: #0b5394;">Productos Notables Ejercicios
Resueltos</span></h2><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b></b></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-size: medium;"><b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEggmWQUgCKDE4yGCSwnrN-uIRX9_FPmB0FwMRYgdCnnSgWwycimqAD8ORulR4sEfZkv-4rreRZpRS5v4ZCXAlJrs5SLs1xbbVqgXQo2bI3pzpDL73yHLS9wE6HRlA9HCHK_YAIdJLADaYFPEL10b3WJQyUep07KTmd-hSipdksWPacnpEnrgkOb0AG5/s700/productos%20notables.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEggmWQUgCKDE4yGCSwnrN-uIRX9_FPmB0FwMRYgdCnnSgWwycimqAD8ORulR4sEfZkv-4rreRZpRS5v4ZCXAlJrs5SLs1xbbVqgXQo2bI3pzpDL73yHLS9wE6HRlA9HCHK_YAIdJLADaYFPEL10b3WJQyUep07KTmd-hSipdksWPacnpEnrgkOb0AG5/s320/productos%20notables.png" width="320" /></a></b></span></div><span style="font-size: medium;"><b>Productos notables</b> es el nombre que reciben multiplicaciones con <i>expresiones algebraicas</i> cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.</span><p></p><span style="font-size: medium;">
Cada <b>producto notable</b> corresponde a una fórmula de <i style="text-decoration: underline;">factorización</i>. Por ejemplo, la
<i>factorización</i> de una <b>diferencia de cuadrados</b> perfectos es un
producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.</span><br />
<br /><span style="font-size: medium;">
Se llama <b>productos notables</b> a ciertas expresiones algebraicas que se
encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple
vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.</span><br />
<br /><span style="font-size: medium;">
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente
porque son muy utilizados en los ejercicios.</span><br />
<br />
<h3><span style="color: #38761d;">DEFINICIÓN DE PRODUCTO Y PRODUCTO
NOTABLE</span></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Un producto es el resultado de multiplicar dos o más
números. Los números que se <i>multiplican se llaman factores</i> o
divisores del producto. Se llaman p<b>roductos notables</b> (o productos
especiales) a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado
puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la
multiplicación, como ya hemos dicho.</span></p><div><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">En álgebra, <b>los productos notables son expresiones</b> que aparecen con frecuencia y se pueden simplificar utilizando fórmulas específicas. Saber cómo identificar y simplificar estos <b>productos notables</b> puede ahorrar tiempo y esfuerzo al resolver <b><i>ecuaciones algebraicas</i></b> más complejas.</span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 1.25em 0px;"></p><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">Tipos de productos notables</span></h3><span style="font-size: medium;">Hay varios tipos de productos notables que se utilizan con frecuencia en álgebra, incluyendo:</span><p></p><ol style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Cuadrado de un binomio: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</span></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Diferencia de cuadrados: (a + b)(a - b) = a^2 - b^2</span></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Producto de suma por diferencia: (a + b)(a - b) = a^2 - b^2</span></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Cubo de un binomio: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3</span></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Suma o diferencia de cubos: (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 o (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3</span></span></li></ol><h4 style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; margin: 1.25em 0px; text-align: left; white-space: pre-wrap;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i style="background-color: white;">Ejercicios resueltos</i></span></h4><ol style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Simplificar la expresión (x + 2)^2:
(x + 2)^2 = x^2 + 2(x)(2) + 2^2 = x^2 + 4x + 4</span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Simplificar la expresión (3a - 2b)^2:
(3a - 2b)^2 = (3a)^2 - 2(3a)(2b) + (2b)^2 = 9a^2 - 12ab + 4b^2</span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Simplificar la expresión (x + 5)(x - 5):
(x + 5)(x - 5) = x^2 - 5x + 5x - 25 = x^2 - 25</span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Simplificar la expresión (2x + 3)(2x - 3):
(2x + 3)(2x - 3) = (2x)^2 - (3)^2 = 4x^2 - 9</span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Simplificar la expresión (a + b + c)^2:
(a + b + c)^2 = a^2 + 2ab + 2ac + b^2 + 2bc + c^2</span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Simplificar la expresión (a - b)^3:
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3</span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Simplificar la expresión (x + 2)(x^2 - 2x + 4):
(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + 4x + 8 = x^3 + 8</span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Simplificar la expresión (3x + 1)(9x^2 - 3x + 4):
(3x + 1)(9x^2 - 3x + 4) = 27x^3 + 9x^2 + 12x - 9x^2 + 3x - 4 = 27x^3 + 15x - 4</span></span></p></li></ol><div><span style="color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, Segoe UI, Roboto, Ubuntu, Cantarell, Noto Sans, sans-serif, Helvetica Neue, Arial, Apple Color Emoji, Segoe UI Emoji, Segoe UI Symbol, Noto Color Emoji; font-size: medium;"><span style="white-space: pre-wrap;"><br /></span></span></div><p style="text-align: left;"><span style="color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, Segoe UI, Roboto, Ubuntu, Cantarell, Noto Sans, sans-serif, Helvetica Neue, Arial, Apple Color Emoji, Segoe UI Emoji, Segoe UI Symbol, Noto Color Emoji; font-size: medium;"><span style="white-space: pre-wrap;"><i>Tutorial para descubrir el paso a paso para resolver ejercicios:</i></span></span></p>
<br />
<iframe frameborder="0" height="400" src="http://www.youtube.com/embed/66vhIo6sBcM?rel=0" width="600"></iframe><br />
<h4><span style="color: #990000; font-size: large;"><i>Aplicaciones de producto notable</i></span><br /><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium; font-weight: normal;">Para aplicar estos productos notables, solo necesitas identificar qué tipo de expresión algebraica tienes y aplicar la fórmula correspondiente. Veamos algunos ejemplos:</span></p><p style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;">Ejercicio 1:</span><span style="color: #990000; font-size: medium; font-weight: normal;"> Multiplicación de un binomio por un trinomio. </span></p><p style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium; font-weight: normal;">Factoriza completamente la expresión 3x^2 - 6x - 45.</span></p><span style="font-size: medium;"><span style="color: #990000;"><i>Solución:</i><span style="font-weight: normal;"> Podemos ver que el primer término de esta expresión es el cuadrado de x, por lo que podemos escribir 3x^2 como (x + x)(3). Luego, el último término es 45, que podemos escribir como (5)(9). Ahora, podemos aplicar el producto de la suma por la diferencia para factorizar el trinomio del medio: -6x = -(3)(2x) = -(3)(x + x). Juntando todo, tenemos: 3x^2 - 6x - 45 = (x + x)(3) - (x + x)(3)(5) = (x + x)(3 - 15)(x + x) = -12(x + x)^2</span></span><br /><br /></span><p style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: medium;">Ejercicio 2:<span style="font-weight: normal;"> Diferencia de cuadrados. </span></span></p><p style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: medium;"><span style="font-weight: normal;">Factoriza completamente la expresión x^4 - 16.</span></span></p><span style="font-size: medium;"><span style="color: #38761d;"><i>Solución:</i><span style="font-weight: normal;"> Podemos ver que esta expresión se puede escribir como la diferencia de dos cuadrados, donde a = x^2 y b = 4: x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 + 4)(x^2 - 4) = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)</span></span><br /></span><p style="text-align: left;"><span style="color: #0b5394;"><span style="font-size: medium;"><br /></span></span></p><p style="text-align: left;"><span style="color: #0b5394;"><span style="font-size: medium;">Ejercicio 3:<span style="font-weight: normal;"> Cuadrado de un binomio. </span></span></span></p><p style="text-align: left;"><span style="color: #0b5394;"><span style="font-size: medium;"><span style="font-weight: normal;">Resuelve la ecuación x^2 - 6x + 9 = 0.</span></span></span></p><p style="text-align: left;"><span style="color: #0b5394; font-size: medium;"><i>Solución: </i><span style="font-weight: normal;">Podemos ver que el primer y el último término de esta expresión son cuadrados perfectos, por lo que podemos escribir: x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 Ahora podemos ver que esta ecuación es una ecuación de segundo grado, por lo que podemos aplicar la fórmula general para resolverla: (x - 3)^2 = 0 x - 3 = 0 x = 3</span></span></p><p></p></h4><br />
<h4><br /></h4><br /></div>Unknownnoreply@blogger.comG724+X8 Conejillo, S.L.P., México22.502449 -101.74421614.423890632713807 -110.5332785 30.58100736728619 -92.9551535tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-53244256074076742442023-04-05T09:30:00.005-07:002023-04-05T10:38:21.064-07:00LENGUAJE ALGEBRAICO EJERCICIOS RESUELTOS<h2><span style="color: #0b5394;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgh3spk5u94aJ4ShrfsdVUNZYjQHfzt5SVPDgVxiNsV1EgEsgTATJtsXImNnfyOHY89YkHhwlhrXmcSFM4PSbddD9fSORUvToloa_brS4sDyLenW9kWc0yIOy1UM9rzUEnkLRq9CAdHT-3KszQv63k3hu4kqtxnRjazuW9uJLViQrR8f1nNX-8mT_Kq/s700/lenguaje%20algebraico.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgh3spk5u94aJ4ShrfsdVUNZYjQHfzt5SVPDgVxiNsV1EgEsgTATJtsXImNnfyOHY89YkHhwlhrXmcSFM4PSbddD9fSORUvToloa_brS4sDyLenW9kWc0yIOy1UM9rzUEnkLRq9CAdHT-3KszQv63k3hu4kqtxnRjazuW9uJLViQrR8f1nNX-8mT_Kq/w320-h229/lenguaje%20algebraico.png" width="320" /></a></div>LENGUAJE ALGEBRAICO EJERCICIOS
RESUELTOS</span></h2>
<p style="background-color: white; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px; text-align: left;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;">El lenguaje que utiliza letras en
combinación con números y signos, y, además, las trata como números en
operaciones y propiedades, se llama <b>lenguaje algebraico</b>. La parte de
las <b>Matemáticas</b> que estudia la relación entre números, letras y
signos se llama <b>Álgebra</b>.</span></p>
<div style="background-color: white; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
<span style="font-family: inherit;"><br /></span>
</div>
<div style="background-color: white; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; padding: 0px;">
</div>
<p style="color: #333333; line-height: 14px; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Para poder manejar el lenguaje
algebraico es necesario comprender lo siguiente:</span></p><div class="style1" style="color: #333333; line-height: 14px; text-align: justify;">
<ol>
<li><span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Se usan todas las letras
del alfabeto.</span></li>
<li><span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Las primeras letras del
alfabeto se determinan por regla general como constantes, es decir,
cualquier número o constante como el vocablo pi.</span></li>
<li><span style="font-family: inherit; font-size: medium;">Por lo regular las letras
X., Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la función
o expresión álgebraica.</span></li>
</ol>
</div>
<div class="style1" style="color: #333333; line-height: 14px; text-align: justify;">
<span style="font-family: inherit;"><br /></span>
</div>
<p style="color: #333333; line-height: 14px; text-align: justify;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;"><strong style="background-color: transparent; border: 0px; color: black; line-height: normal; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; text-align: left; vertical-align: baseline;">
El lenguaje algebraico</strong><span style="color: black; line-height: normal; text-align: left;"> es una forma de
traducir a símbolos y números lo que normalmente tomamos como
expresiones particulares. De esta forma se pueden manipular cantidades
desconocidas con símbolos fáciles de escribir lo que permite
simplificar</span><strong style="background-color: transparent; border: 0px; color: black; line-height: normal; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; text-align: left; vertical-align: baseline;">
teoremas</strong><span style="color: black; line-height: normal; text-align: left;">, formular
</span><strong style="background-color: transparent; border: 0px; color: black; line-height: normal; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; text-align: left; vertical-align: baseline;">ecuaciones
e inecuaciones </strong>y el estudio de cómo resolverlas. Este lenguaje
nos ayuda a resolver <strong style="background-color: transparent; border: 0px; color: black; line-height: normal; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; text-align: left; vertical-align: baseline;">
problemas matemáticos</strong><span style="color: black; line-height: normal; text-align: left;"> mostrando
generalidades.</span></span></p><div class="style1" style="line-height: 14px;"><h3 style="text-align: left;"><span style="line-height: normal;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">Introducción al lenguaje algebraico</span></span></h3><div><span style="line-height: normal;"><p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;">El lenguaje algebraico es una herramienta utilizada para
representar expresiones y ecuaciones matemáticas de una manera más compacta y fácil
de manejar. En lugar de trabajar con números y operaciones aritméticas, el
lenguaje algebraico utiliza letras y símbolos para representar números y
operaciones.</span><o:p></o:p></p></span></div></div><div class="style1" style="line-height: 14px;"><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">Representación de expresiones en lenguaje algebraico</span></h3><div><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; line-height: normal; margin: 1.25em 0px;"><span style="font-size: medium;">Las expresiones algebraicas están formadas por variables, coeficientes y operaciones matemáticas. Las variables son letras que representan números desconocidos o variables independientes. Los coeficientes son números que multiplican a las variables. Las operaciones matemáticas son los símbolos que indican qué hacer con las variables y los coeficientes.</span><br /><br /></p><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i><u>Ejemplo de lenguaje algebraico</u></i></span></h4><span style="font-size: medium;">Por ejemplo, la expresión 3x + 2 representa un número desconocido (x) multiplicado por 3 y sumado a 2. La letra x es la variable, el número 3 es el coeficiente y el símbolo + indica que se debe sumar.</span><p></p><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;">Representación de ecuaciones en lenguaje algebraico</span></h3><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; line-height: normal; margin: 1.25em 0px;"><span style="font-size: medium;">Las ecuaciones algebraicas son declaraciones matemáticas que igualan dos expresiones. Las ecuaciones se representan mediante una igualdad (=). Por ejemplo, la ecuación 3x + 2 = 8 significa que la expresión 3x + 2 es igual a 8.</span><br /><br /><span style="font-size: medium;">Para resolver ecuaciones, se utilizan las mismas operaciones aritméticas que se utilizan en la resolución de problemas numéricos. El objetivo es aislar la variable para encontrar su valor. Para ello, se pueden aplicar las operaciones inversas a ambos lados de la igualdad.</span></p><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;"><u>Ejercicios resueltos</u></span></h3><ol style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; line-height: normal; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; text-align: left;"><li><span style="font-size: large;">Representa la expresión matemática "el triple de un número más cinco". </span></li><li><span style="font-size: large;"><b><i>Solución:</i></b> La expresión se puede representar como 3x + 5, donde x es el número desconocido.</span></li><li><span style="font-size: medium;">Resuelve la ecuación 2x + 4 = 10. </span></li><li><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b> Primero se resta 4 a ambos lados de la igualdad, quedando 2x = 6. Luego, se divide entre 2 en ambos lados para obtener x = 3.</span></li><li><span style="font-size: medium;">Representa la expresión matemática "la mitad de la suma de dos números". </span></li><li><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b> La expresión se puede representar como (x + y)/2, donde x e y son los números desconocidos.</span></li><li><span style="font-size: medium;">Resuelve la ecuación 5x - 2 = 13. </span></li><li><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b> Primero se suma 2 a ambos lados de la igualdad, quedando 5x = 15. Luego, se divide entre 5 en ambos lados para obtener x = 3.</span></li><li><span style="font-size: medium;">Representa la expresión matemática "el doble de la resta de un número menos cuatro". <b><i>Solución:</i></b> La expresión se puede representar como 2(x - 4), donde x es el número desconocido.</span></li><li><span style="font-size: medium;">Resuelve la ecuación 3(x + 2) = 21. </span></li><li><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b> Primero se divide entre 3 en ambos lados de la igualdad, quedando x + 2 = 7. Luego, se resta 2 a ambos lados para obtener x = 5.</span></li></ol><div style="line-height: normal;"><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;"><u><i>Ejemplos resueltos:</i></u></span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Ejemplo 1:</i></b> Si x representa la edad de Ana, escribe una expresión algebraica para representar la edad de su hermano Juan, sabiendo que este tiene dos años menos que ella.</span></p></div><div style="line-height: normal;"><span style="font-size: medium;"><b><i><span style="color: #990000;">Solución:</span></i></b> Si x representa la edad de Ana, entonces podemos decir que la edad de Juan es x - 2. Por lo tanto, la expresión algebraica que representa la edad de Juan es x - 2.</span></div><div style="line-height: normal;"><b><i><br /></i></b></div><div style="line-height: normal;"><b><i><br /></i></b></div><div style="line-height: normal;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Ejemplo 2:</i></b> Escribe una expresión algebraica para la siguiente situación: el triple de un número, disminuido en 5.</span></div><div style="line-height: normal;"><span style="font-size: medium;"><br /></span></div><div style="line-height: normal;"><span style="font-size: medium;"><b><i><span style="color: #990000;">Solución:</span></i></b> Si llamamos "n" al número, el triple de ese número es 3n. Para disminuirlo en 5, restamos 5 a la expresión anterior, quedando como sigue: 3n - 5.</span></div><div style="line-height: normal;"><br /></div><p style="line-height: normal; text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Ejemplo 3:</i></b> Escribe una expresión algebraica para la siguiente situación: la suma de tres números consecutivos.</span></p><div style="line-height: normal;"><span style="font-size: medium;"><b><i><span style="color: #990000;">Solución:</span></i></b> Si llamamos "n" al primer número, entonces el siguiente número sería "n + 1", y el tercero sería "n + 2". Por lo tanto, la expresión algebraica que representa la suma de estos tres números consecutivos es: n + (n + 1) + (n + 2).</span></div><div style="line-height: normal;"><br /></div><div style="line-height: normal;"><br /></div><div style="line-height: normal;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Ejemplo 4:</i></b> Escribe una expresión algebraica para la siguiente situación: la suma de dos números pares consecutivos.</span></div><div style="line-height: normal;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><b><i><br /></i></b></span></div><div style="line-height: normal;"><span style="font-size: medium;"><b><i><span style="color: #990000;">Solución:</span></i></b> Si llamamos "n" al primer número par, entonces el siguiente número par sería "n + 2". Por lo tanto, la expresión algebraica que representa la suma de estos dos números pares consecutivos es: n + (n + 2).</span></div><p style="line-height: normal; text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Ejemplo 5:</i></b> Escribe una expresión algebraica para la siguiente situación: el doble de un número más la mitad de otro número.</span></p><div style="line-height: normal;"><br /></div><div style="line-height: normal;"><span style="font-size: medium;"><b><i><span style="color: #990000;">Solución:</span></i></b> Si llamamos "n" al primer número y "m" al segundo número, entonces el doble de "n" es 2n y la mitad de "m" es m/2. Por lo tanto, la expresión algebraica que representa la suma de estas dos expresiones es: 2n + m/2.</span></div><div style="line-height: normal;"><br /></div><p style="line-height: normal; text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Ejemplo 6:</i></b> Escribe una expresión algebraica para la siguiente situación: la suma de dos números consecutivos es 43.</span></p><div style="line-height: normal;"><br /></div><div style="line-height: normal;"><span style="font-size: medium;"><b><i><span style="color: #990000;">Solución:</span></i></b> Si llamamos "n" al primer número, entonces el siguiente número sería "n + 1". Como la suma de estos dos números consecutivos es 43, podemos escribir la siguiente ecuación: n + (n + 1) = 43. Luego, resolvemos la ecuación: 2n + 1 = 43, 2n = 42, n = 21. </span></div><div style="line-height: normal;"><span style="font-size: medium;"><br /></span></div><div style="line-height: normal;"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, el primer número es 21 y el segundo número es 22. </span><span style="font-size: large;">La expresión algebraica para la suma de estos dos números consecutivos es: 21 + 22 = 43.</span></div></div><div style="line-height: normal;"><span style="font-size: large;"><br /></span></div></div>Unknownnoreply@blogger.comJ8MC+RV Sombrerete, Zac., México23.634501 -103.6778097-7.2477935663120121 -138.8340597 54.516795566312013 -68.521559699999983tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-17944901586194379782023-04-03T18:47:00.001-07:002023-04-03T18:47:26.214-07:00RECTA NUMÉRICA Y ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS<h2 style="text-align: left;"><span style="color: #0b5394;">RECTA NUMÉRICA Y ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS</span></h2><div style="line-height: 19.1875px;"><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_TqwwkqnusSc8dhmfylBBsyAxvmzXSxBNIomov7j-0wfi-czd1zzlcEguTVcuvDWUDdDb_9DmbkBjiG1ZTf1Q7-3HkhkC_Xrk85vSGoK8fjYoj78t_txDjci46n_GVqrFC2wDKeJPtLZi2vt3tdIO_KIxb4dhlDGcxEB5-V_S0Yu_XHfbBJjULsnH/s700/recta%20numerica%20y%20orden%20de%20los%20enteros.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="199" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_TqwwkqnusSc8dhmfylBBsyAxvmzXSxBNIomov7j-0wfi-czd1zzlcEguTVcuvDWUDdDb_9DmbkBjiG1ZTf1Q7-3HkhkC_Xrk85vSGoK8fjYoj78t_txDjci46n_GVqrFC2wDKeJPtLZi2vt3tdIO_KIxb4dhlDGcxEB5-V_S0Yu_XHfbBJjULsnH/w278-h199/recta%20numerica%20y%20orden%20de%20los%20enteros.png" width="278" /></a></div>Recta Numérica en los Números Enteros</span></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">La recta numérica es una herramienta útil para visualizar y comprender la relación entre los números enteros. Consiste en una línea recta donde cada punto representa un número entero.</span></p><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>Ubicación de números enteros en la recta numérica</i></span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><i>Ejercicio 1: Ubicar los números enteros -3, 0 y 5 en la recta numérica.</i></span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución: </i></b></span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Para ubicar -3 en la recta numérica, nos movemos 3 unidades hacia la izquierda desde el 0 y marcamos el punto correspondiente. Para ubicar 5, nos movemos 5 unidades hacia la derecha desde el 0 y marcamos el punto correspondiente. El número 0 se ubica en el punto central de la recta numérica.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><br /></span></p><b><span face="sans-serif"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; font-weight: 400; margin: 1.25em 0px; white-space: pre-wrap;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"> -3 0 5
◄--------●--------►</span></span></p></span></b><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><br /></span></h3><h4 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000; font-size: medium;">Comparación de números enteros en la recta numérica</span></i></h4><p style="text-align: left;"><i><span style="font-size: medium;">Ejercicio 2: Comparar los números enteros -6 y 2 en la recta numérica.</span></i></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Solución: Podemos observar que -6 se ubica a la izquierda del 0, mientras que 2 se ubica a la derecha del 0. Por lo tanto, podemos concluir que 2 es mayor que -6.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><br /></span></p><b><span face="sans-serif"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; font-weight: 400; margin: 1.25em 0px; white-space: pre-wrap;"><span style="background-color: white;"><span style="color: white; font-family: "Söhne Mono", Monaco, "Andale Mono", "Ubuntu Mono", monospace; font-size: 14px; white-space: pre;"> </span><span style="font-size: medium;"><span style="color: white; font-family: "Söhne Mono", Monaco, "Andale Mono", "Ubuntu Mono", monospace; white-space: pre;"> </span><span class="hljs-number" style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #df3079; font-family: "Söhne Mono", Monaco, "Andale Mono", "Ubuntu Mono", monospace; white-space: pre;">-6</span><span style="color: white; font-family: "Söhne Mono", Monaco, "Andale Mono", "Ubuntu Mono", monospace; white-space: pre;"> </span><span class="hljs-number" style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #df3079; font-family: "Söhne Mono", Monaco, "Andale Mono", "Ubuntu Mono", monospace; white-space: pre;">0</span><span style="color: white; font-family: "Söhne Mono", Monaco, "Andale Mono", "Ubuntu Mono", monospace; white-space: pre;"> </span><span class="hljs-number" style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #df3079; font-family: "Söhne Mono", Monaco, "Andale Mono", "Ubuntu Mono", monospace; white-space: pre;">2</span><span style="color: white; font-family: "Söhne Mono", Monaco, "Andale Mono", "Ubuntu Mono", monospace; white-space: pre;">
</span><span style="font-family: "Söhne Mono", Monaco, "Andale Mono", "Ubuntu Mono", monospace; white-space: pre;">◄</span><span class="hljs-comment" style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; font-family: "Söhne Mono", Monaco, "Andale Mono", "Ubuntu Mono", monospace; white-space: pre;">--------●--------►</span></span></span></p></span></b></div><b><span face="sans-serif"><div style="background-color: white; color: #073763; font-size: 13px; line-height: 19.1875px;"><br /></div></span></b><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>La recta numérica real o recta de coordenadas</i></span></h4><div style="background-color: white; font-weight: bold; line-height: 19.1875px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium;">
es una representación geométrica del conjunto de los <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real" style="background-image: none; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0b0080; text-decoration: initial;" title="Número real">números reales</a>. Tiene su origen en el cero, y
se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido
(normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente
a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto
de la recta y un número real. Se usa el símbolo <span style="border-color: initial; border-image: initial; border-width: initial;"><img alt="\mathbb{R}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/3/4/134676911181af05d24d406f16edf587.png" style="border: none; margin: 0px; vertical-align: middle;" /></span> para este
conjunto.
</span></div>
<p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.</span></p>
<div style="background-color: white; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em;"></div>
<div class="MsoNormal">
<b><br /></b><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">Orden de los números enteros</span></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">El orden de los números enteros es una parte fundamental de las matemáticas, que nos permite comparar y clasificar los números enteros en función de su magnitud. A continuación, se presentan 5 ejercicios resueltos paso a paso utilizando subtemas incluidos en el tema.</span></p><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>Comparación de números enteros</i></span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b>Ejercicio 1:</b> Comparar los números enteros -5 y 3.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b> Podemos observar que -5 se ubica a la izquierda del 0, mientras que 3 se ubica a la derecha del 0. Por lo tanto, podemos concluir que 3 es mayor que -5.</span></p><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>Ordenamiento de números enteros en una secuencia</i></span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b>Ejercicio 2:</b> Ordenar los números enteros -3, 7, 0, -2, 5 en una secuencia de menor a mayor.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b> La secuencia de menor a mayor quedaría: -3, -2, 0, 5, 7.</span></p><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;">Ordenamiento de números enteros en una recta numérica</span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b>Ejercicio 3:</b> Ubicar los números enteros -2, 0, 4 en una recta numérica y ordenarlos de menor a mayor.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b> Los números se ubican en la recta numérica de la siguiente manera:</span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; margin: 1.25em 0px; white-space: pre-wrap;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"> -2 0 4
◄--------●--------►</span></span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">La secuencia de menor a mayor quedaría: -2, 0, 4.</span></p><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>Valor absoluto de números enteros</i></span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b>Ejercicio 4:</b> Calcular el valor absoluto de los números enteros -8, 0, 3.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b> El valor absoluto de -8 es 8, el de 0 es 0 y el de 3 es 3.</span></p><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>Propiedades del orden de los números enteros</i></span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b>Ejercicio 5:</b> Demostrar que si a es un número entero y b es un número entero positivo, entonces a < a + b.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b> Sabemos que b es positivo, por lo que a + b siempre será mayor que a. Por lo tanto, podemos concluir que a < a + b.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><br /></span></p></div>Unknownnoreply@blogger.comW9FG+JQ Víctor Rosales, Zac., México22.9240318 -102.62312226.9497038944366558 -120.2012472 38.898359705563351 -85.0449972tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-2732905058543573442023-04-03T17:52:00.001-07:002023-04-03T17:54:28.063-07:00LÍMITE TRIGONOMÉTRICO ejercicios resueltos<h2><span style="color: #0b5394;">Límite Trigonométrico | Ejercicios
Resueltos</span></h2><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b></b></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="font-size: medium;"><b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUx89c5Cg5xhqkaLMkPcIDtTnhK2YAnZfWIrXzvEShh-CrJ8jLTIwpp4O2VVCeXnVbuZiZCPhfSHAoln500sj_Y1ichLxMChLmFOOERiIN2BTq64GrifYS7Fv5LJK2Bx_V1AEdzP7zGrwtPmh2UuRTvfiWds8SB40Eq7GcWOC7YWPoeb5Ci_mGdify/s700/limite%20trigonometrico.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUx89c5Cg5xhqkaLMkPcIDtTnhK2YAnZfWIrXzvEShh-CrJ8jLTIwpp4O2VVCeXnVbuZiZCPhfSHAoln500sj_Y1ichLxMChLmFOOERiIN2BTq64GrifYS7Fv5LJK2Bx_V1AEdzP7zGrwtPmh2UuRTvfiWds8SB40Eq7GcWOC7YWPoeb5Ci_mGdify/s320/limite%20trigonometrico.png" width="320" /></a></b></span></div><span style="font-size: medium;"><b>Los Limites trigonométricos se pueden resolver aplicando un límite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un número, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites.</b></span><p></p>
<p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Los tipos de teoremas básicos generalmente proporcionan en su primera aplicación, la indeterminación 0/0. Por ello, es necesario tener en cuenta la aplicación de las identidades básicas trigonométricas, para eliminar tal indeterminación.</span></p><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">1. <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica" target="_blank">Límite Trigonométrico</a></span></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Los límites trigonométricos son una herramienta importante en el cálculo de límites que involucran <b><i>funciones trigonométricas</i></b>. Estos límites se utilizan para encontrar el valor al que se aproximan las <b>funciones trigonométricas</b> cuando la variable independiente se acerca a cierto valor o cuando se alcanza un valor determinado.</span></p><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">2. <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_(matem%C3%A1tica)" target="_blank">Límites trigonométricos básicos</a></span></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Los límites trigonométricos básicos son aquellos que involucran funciones trigonométricas elementales como el seno, el coseno y la tangente. A continuación, se presentan 2 ejercicios resueltos paso a paso.</span></p><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>Ejercicio 1: Calcular el límite: lim(x→0) (sen(x))/x.</i></span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b> Usando la definición de límite, tenemos:</span></p><span style="font-size: medium;">lim(x→0) (sen(x))/x = 1.</span><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>Ejercicio 2: Calcular el límite: lim(x→π/4) (cos(x) - √2/2)/(x - π/4).</i></span></h4><div><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b> Usando la regla de L'Hôpital, tenemos:</span></p><span style="font-size: medium;">lim(x→π/4) (cos(x) - √2/2)/(x - π/4) = </span></div><div><span style="font-size: medium;"><br /></span></div><div><span style="font-size: medium;">lim(x→π/4) -sen(x)/(x - π/4) = -1/√2.</span><br /><br /><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">3. <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_por_sustituci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica" target="_blank">Límites trigonométricos con identidades trigonométricas</a></span></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Los límites trigonométricos con identidades trigonométricas son aquellos que se resuelven utilizando identidades trigonométricas para simplificar la función trigonométrica y luego aplicando las técnicas básicas de límites. A continuación, se presentan 2 ejercicios resueltos paso a paso.</span></p><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>Ejercicio 3: Calcular el límite: lim(x→0) (1 - cos(x))/x^2.</i></span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b> Usando la identidad trigonométrica 1 - cos(x) = 2sen^2(x/2), podemos simplificar la función y obtener:</span></p><span style="font-size: medium;">lim(x→0) (1 - cos(x))/x^2 = </span></div><div><span style="font-size: medium;"><br /></span></div><div><span style="font-size: medium;">lim(x→0) 2sen^2(x/2)/x^2 = </span></div><div><span style="font-size: medium;"><br /></span></div><div><span style="font-size: medium;">lim(x→0) (sen(x/2)/x/2)^2 = 1/2.</span><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 1.25em 0px;"></p><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>Ejercicio 4: Calcular el límite: lim(x→0) (sen(x) + x)/x^3.</i></span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b></span><span style="font-size: medium; font-weight: normal;"> Usando la identidad trigonométrica sen(x) = x - (x^3)/3! + O(x^5), podemos simplificar la función y obtener:</span></p><span style="font-size: medium;">lim(x→0) (sen(x) + x)/x^3 = </span></div><div><span style="font-size: medium;"><br /></span></div><div><span style="font-size: medium;">lim(x→0) (x - (x^3)/3! + O(x^5) + x)/x^3 = </span></div><div><span style="font-size: medium;"><br /></span></div><div><span style="font-size: medium;">lim(x→0) (1/x^2 - 1/3! + O(x^2)) = ∞.</span><br /><br /><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">4. <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial" target="_blank">Límites trigonométricos con funciones exponenciales</a></span></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Los límites trigonométricos con funciones exponenciales son aquellos que se resuelven utilizando propiedades de las funciones exponenciales y trigonométricas para simplificar la función y luego aplicando las técnicas básicas de límites. A continuación, se presentan 2 ejercicios resueltos paso a paso.</span></p><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>Ejercicio 5: Calcular el límite: lim(x→0) [(e^x - 1)/x]cos(x).</i></span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b> Usando la regla de L'Hôpital, tenemos:</span></p><span style="font-size: medium;"><div>lim(x→0) [(e^x - 1)/x]cos(x) = </div><div><br /></div><div>lim(x→0) [(e^x)/1]cos(x) = cos(0) = 1.</div></span><br /><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>Ejercicio 6: Calcular el límite: lim(x→π/2) (1 - cos(x))/e^(tan(x) - π/2).</i></span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Solución: Usando la identidad trigonométrica 1 - cos(x) = 2sen^2(x/2) y la propiedad exponencial e^a/b = (e^a)^(1/b), podemos simplificar la función y obtener:</span></p><span style="font-size: medium;">lim(x→π/2) (1 - cos(x))/e^(tan(x) - π/2) = </span></div><div><span style="font-size: medium;"><br /></span></div><div><span style="font-size: medium;">lim(x→π/2) 2sen^2(x/2)/(e^(tan(x) - π/2)) = </span></div><div><span style="font-size: medium;"><br /></span></div><div><span style="font-size: medium;">lim(x→π/2) (sen(x/2)/cos(x/2))^2/(e^(tan(x) - π/2)) = </span></div><div><span style="font-size: medium;"><br /></span></div><div><span style="font-size: medium;">lim(x→π/2) [(sen(x/2)/cos(x/2))/(e^(tan(x) - π/2))]^2 = </span></div><div><span style="font-size: medium;"><br /></span></div><div><span style="font-size: medium;">lim(x→π/2) [(sen(x/2)/cos(x/2))/(e^[(tan(x) - π/2)/2])]^2 = 1/4.</span></div><div><br /><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">Límite Trigonométrico | Ejemplo paso a paso </span></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"> Explicación para expresar un ejercicio determinado en términos de senos y cosenos.</span></p>
<h2 style="background-color: #f4f4f4; line-height: 26px; margin: 5px 0px;">
<iframe frameborder="0" height="410" src="http://www.youtube.com/embed/DTPZewnHiYw?rel=0" width="600"></iframe></h2>
<div><br /></div><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">Ejercicios Resueltos de Límites Trigonométricos </span></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"> Ejercicios resueltos por el profe Jorge paso a paso, de forma detallada.</span></p><div>
<br />
<iframe frameborder="0" height="410" src="http://www.youtube.com/embed/irhwoQqr-TE?rel=0" width="600"></iframe><br />
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<h3><br /></h3>
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<h4><br /></h4>
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<h3><br /></h3>
<br /><br /></div></div>Unknownnoreply@blogger.com42VG+V4 Ojo de Agua, Zac., México22.1447222 -102.97468476.1265744012901564 -120.5528097 38.162869998709844 -85.3965597tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-46031690421704108312023-04-03T12:35:00.008-07:002023-04-03T12:57:12.574-07:00SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2x2 EJERCICIOS RESUELTOS<h2><span style="color: #0b5394;">SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES</span></h2><div>
<h3><span style="font-family: inherit; font-weight: bold;"><span style="color: #38761d;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHA90ikFo5FIw5FfVEx6Vny3cWzogLEvM0BhmROMKY55AvsQtYf_MahUmeQodnltCJBkAl-MNL0oI2cdLysPac2rO1CcJTxNjXXqxwsOoEwSQ9vIiJQDKK0kyhuOxdHjM8c2Iro3kyTfE8Csfr_RdKI363spYRvMe22_HreajS9W5x5kA5R_V3Ee6b/s700/ecuaciones%20lineales%202x2.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHA90ikFo5FIw5FfVEx6Vny3cWzogLEvM0BhmROMKY55AvsQtYf_MahUmeQodnltCJBkAl-MNL0oI2cdLysPac2rO1CcJTxNjXXqxwsOoEwSQ9vIiJQDKK0kyhuOxdHjM8c2Iro3kyTfE8Csfr_RdKI363spYRvMe22_HreajS9W5x5kA5R_V3Ee6b/s320/ecuaciones%20lineales%202x2.png" width="320" /></a></div><br /><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales" target="_blank">Un sistema 2 X 2</a></span></span></h3>
<h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-family: inherit; font-size: medium; font-weight: bold;">Consiste en
dos ecuaciones lineales en dos variables.</span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-family: inherit; font-size: medium; font-weight: bold;">La solución
de este sistema es todo par ordenado que pertenezca al conjunto
solución de ambas </span><span style="font-family: inherit; font-size: large; font-weight: bold;">ecuaciones.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Un sistema 2x2 de ecuaciones lineales es un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas cada una. Estas ecuaciones se escriben generalmente en la forma:</span></p><p style="text-align: center;"><span style="font-size: medium;"><b><i>ax + by = c</i></b></span></p><span style="font-size: medium;"><div style="text-align: center;"><b><i>dx + ey = f</i></b></div></span><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">donde <b><i>a, b, c, d, e, f</i></b> son coeficientes numéricos <b><i>y x, y</i></b> son las incógnitas. El objetivo del sistema es encontrar los valores de x y y que satisfagan ambas ecuaciones simultáneamente.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Este tipo de sistemas se pueden resolver de varias maneras, como por ejemplo por el método de sustitución, el método de eliminación o por medio de matrices. La solución del sistema puede ser un par ordenado (x, y) si existe una única solución, una infinidad de soluciones si las dos ecuaciones son equivalentes o no tiene solución si las dos ecuaciones son contradictorias.</span></p>
<div>
<h4><span style="color: #990000; font-family: inherit; font-size: medium; font-weight: bold;">Sistema
determinado</span></h4>
<div><ol style="text-align: left;"><li><span style="font-family: inherit; font-weight: bold;">La
solución es un par ordenado, es decir existe
una solución única.</span></li>
<li>
<div style="display: inline;">
<div style="display: inline;">
<span style="font-family: inherit; font-weight: bold;">El
par ordenado es la coordenada del punto de
intersección.</span></div></div></li></ol></div></div><div>
</div>
<div>
<h4><span style="color: #990000; font-family: inherit; font-size: medium; font-weight: bold;">Sistema
inconsistente</span></h4>
<div>
<ul>
<li>
<div style="display: inline;">
<div style="display: inline;">
<span style="font-family: inherit; font-weight: bold;">Ambas
líneas tienen la misma inclinación por lo tanto
no hay intersección entre ellas, decimos que
son líneas paralelas.</span>
</div>
</div>
</li>
<li>
<div style="display: inline;">
<div style="display: inline;">
<span style="font-family: inherit; font-weight: bold;">Este
sistema no tiene solución.</span></div></div></li></ul></div></div><div>
</div>
<div>
<h4><span style="color: #990000; font-family: inherit; font-size: medium; font-weight: bold;">Sistema
dependiente</span></h4>
<p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><span style="font-family: inherit;"><b>Este sistema consta de dos
ecuaciones equivalentes</b> por lo que el conjunto<br /></span><span style="font-family: inherit;">solución es un <i><u>conjunto
infinito</u></i> de la forma { (x,y)| ax + by + c = 0 }</span></span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><span style="font-family: inherit;"><br /></span></span></p><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-size: large;"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_algebraicas" target="_blank">¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales 2x2?</a></span></h3><div><span style="font-family: inherit;"><span style="font-size: medium;">
</span><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; background-color: #f7f7f8; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; margin: 0px 0px 1.25em; text-align: left; white-space: pre-wrap;"><span style="font-size: medium;">Hay varias formas de resolver un sistema de ecuaciones lineales 2x2, pero aquí te describiré dos de los métodos más comunes:</span></p></span><h4></h4><h3></h3><h4></h4><h4><ul style="text-align: left;"><li><span style="color: #990000; font-size: large;">Método de sustitución:</span></li></ul></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b>En este método, se despeja una de las variables en una de las ecuaciones y se sustituye en la otra ecuación</b>. Luego, se resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de la variable restante. Finalmente, se sustituye este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable. Los pasos para resolver un sistema 2x2 por el método de sustitución son los siguientes:</span></p><ol style="text-align: left;"><li><span style="font-size: large;">Despejar una variable en una de las ecuaciones, por ejemplo, si la primera ecuación es ax + by = c, despejar y para obtener y = (c - ax) / b.</span></li><li><span style="font-size: large;">Sustituir esta expresión de y en la segunda ecuación, dx + ey = f, para obtener una ecuación con una sola variable en términos de x.</span></li><li><span style="font-size: large;">Resolver la ecuación resultante para x.</span></li><li><span style="font-size: large;">Sustituir el valor de x encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de y.</span></li></ol><h4><ul style="text-align: left;"><li><span style="color: #990000; font-size: large;">Método de eliminación:</span></li></ul></h4><h4></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b>En este método, se suman o restan las dos ecuaciones para eliminar una de las variables y luego se resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de la variable restante</b>. Los pasos para resolver un sistema 2x2 por el método de eliminación son los siguientes:</span></p><ol style="text-align: left;"><li><span style="font-size: medium;">Multiplicar una de las ecuaciones por un número adecuado de manera que el coeficiente de una de las variables en ambas ecuaciones sea igual y opuesto. Por ejemplo, si las dos ecuaciones son ax + by = c y dx + ey = f, multiplicar la primera ecuación por e y la segunda ecuación por -b para que ambos términos tengan un coeficiente de ey.</span></li><li><span style="font-size: medium;">Sumar o restar las dos ecuaciones para eliminar una de las variables y obtener una ecuación con una sola variable.</span></li><li><span style="font-size: medium;">Resolver la ecuación resultante para encontrar el valor de la variable restante.</span></li><li><span style="font-size: medium;">Sustituir el valor de esta variable en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.</span></li></ol><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b> En ambos métodos, es importante verificar la solución encontrada</b> <i>reemplazando los valores de x y y en ambas ecuaciones originales para asegurarse de que sean solución del sistema.</i></span></p></div>
</div>
<h3 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; font-family: inherit;"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer" target="_blank">EJERCICIOS RESUELTOS</a></span></h3>
<div>
<div class="MsoNormal">
<h4 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-family: inherit; font-size: medium; font-weight: bold;">Solución
de un Sistema de Ecuaciones de 2x2 por el Método de
Cramer</span></h4>
</div>
<p style="font-weight: bold; text-align: left;"><span style="font-size: medium;">
El método de Cramer es una forma sistemática de resolver estos
sistemas.
</span></p>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: bold;">
<br />
</div>
</div><iframe frameborder="0" height="410" src="http://www.youtube.com/embed/yVRpljpObDU" width="600"></iframe>
</div>
<div>
<br />
</div>
<div>
<div class="MsoNormal">
<h3 style="font-weight: bold;"><span style="color: #990000;">Solución
de un Sistema de 2 x 2 por el Método de Sustitución</span></h3>
</div>
<div class="MsoNormal">
<p style="text-align: left;"><b><span style="font-size: medium;">Uno de los métodos para resolver estos sistemas de ecuaciones es
el de sustitución que abordamos a continuación resolviendo
ejercicios.</span></b></p>
<p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Ejercicio:</i></b> </span></p><p></p><div><span style="font-size: medium;">Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x2 por el método de sustitución:</span></div><div style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><br /><div style="text-align: center;"><b>2x + y = 7</b> (primera ecuación)</div></span></div><span style="font-size: medium;"><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: center;"><b>x - y = 1 </b> (segunda ecuación)</div></span><p></p></div><div class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><i><u><b>Solución</b></u>:</i></span><br /><h4 style="text-align: left;"><i><span style="font-size: medium;">Paso 1: Despejar una variable en una de las ecuaciones. </span></i></h4></div><div class="MsoNormal"><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">En este caso, despejaremos x en la segunda ecuación:</span></p><p class="MsoNormal"><b>x - y = 1</b></p><p class="MsoNormal"><b>x = y + 1</b><o:p></o:p></p><h4 style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><i>Paso 2: Sustituir esta expresión de x en la primera ecuación:</i></span></h4><p class="MsoNormal"><b>2x + y = 7<o:p></o:p></b></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 1.25em 0px;">
</p><p class="MsoNormal"><b>2(y + 1) + y = 7</b><o:p></o:p></p><h4 style="text-align: left;"><i><span style="font-size: medium;">Paso 3: Resolver la ecuación resultante para y:</span></i></h4><p class="MsoNormal"><b>2y + 2 + y = 7<o:p></o:p></b></p><p class="MsoNormal"><b>3y = 5<o:p></o:p></b></p><p class="MsoNormal">
</p><p class="MsoNormal"><b>y = 5/3</b><o:p></o:p></p><h4 style="text-align: left;"><i><span style="font-size: medium;">Paso 4: Sustituir el valor encontrado de y en la expresión de x que obtuvimos en el paso 1:</span></i></h4><p class="MsoNormal"><b>x = y + 1<o:p></o:p></b></p><p class="MsoNormal"><b>x = (5/3) + 1<o:p></o:p></b></p><p class="MsoNormal">
</p><p class="MsoNormal"><b>x = 8/3</b><o:p></o:p></p><h4 style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><i>Paso 5: Verificar la solución reemplazando los valores encontrados de x e y en ambas ecuaciones originales:</i></span></h4><p class="MsoNormal"><b>2x + y = 7<o:p></o:p></b></p><p class="MsoNormal"><b>2(8/3) + (5/3) = 7<o:p></o:p></b></p><p class="MsoNormal"><b>16/3 + 5/3 = 7</b><o:p></o:p></p><p class="MsoNormal"><b>7 = 7</b> (Es una solución válida)<o:p></o:p></p><p class="MsoNormal"><o:p> </o:p></p><p class="MsoNormal"><b>x - y = 1<o:p></o:p></b></p><p class="MsoNormal"><b>(8/3) - (5/3) = 1<o:p></o:p></b></p><p class="MsoNormal">
</p><p class="MsoNormal"><b>3/3 = 1</b> (Es una solución válida)<o:p></o:p></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b>Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones lineales es x = 8/3 y y = 5/3.</b></span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><br /></b></span></p></div>
<div class="MsoNormal">
<h3 style="font-weight: bold;"><span style="color: #38761d;">Solución
de un Sistema de 2 x 2 por el Método de Eliminación (Suma y
Resta)</span></h3>
</div>
<p style="font-weight: bold; text-align: left;"><span style="font-size: medium;">
Ejercicios resueltos por el método de eliminación, forma de
eliminar una de las letras y poder trabajar sólo con una para
resolver el sistema de forma práctica.</span></p><b><i><span style="color: #0b5394; font-size: medium;">Ejercicio: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x2 por el método de eliminación: </span></i></b><br /><div style="text-align: center;"><br /></div><span style="font-size: medium;"><div style="text-align: center;"><b>3x + 2y = 7</b> (primera ecuación)</div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: center;"><b>2x - 5y = -8</b> (segunda ecuación)</div><div style="text-align: center;"><br /></div><b><i><u>Solución</u>:</i></b></span></div><div><h4 style="text-align: left;"><i><span style="font-size: medium;">Paso 1: Multiplica la primera ecuación por 5, la segunda ecuación por 2 para eliminar y:</span></i></h4><span style="font-size: medium;"><br /><b>15x + 10y = 35<br /><br /></b></span><div style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b>4x - 10y = -16</b></span></div><h4 style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><i>Paso 2: Sumar ambas ecuaciones para eliminar y:</i></span></h4><span style="font-size: medium;"><b>15x + 10y + 4x - 10y = 35 - 16</b></span><br /><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Simplificando, obtenemos:</span></p><span style="font-size: medium;"><b>19x = 19</b></span><br /><h4 style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><i>Paso 3: Resolver la ecuación resultante para x:</i></span></h4><span style="font-size: medium;"><b>19x = 19<br /><br /><i>x = 1</i></b><br /><br /></span><h4 style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><i>Paso 4: Sustituir el valor encontrado de x en una de las ecuaciones originales para encontrar y:</i></span></h4><br /><span style="font-size: medium;"><b>3x + 2y = 7<br /><br />3(1) + 2y = 7</b></span><br /><br /><h4 style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><i>Paso 5: Resolver la ecuación resultante para y:</i></span></h4><span style="font-size: medium;"><b><br />3 + 2y = 7<br /><br />2y = 4</b><br /><br /><b><i>y = 2</i></b></span><br /><br /><h4 style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><i>Paso 6: Verificar la solución reemplazando los valores encontrados de x e y en ambas ecuaciones originales:</i></span></h4><span style="font-size: medium;"><b>3x + 2y = 7<br /><br />3(1) + 2(2) = 7<br /><br />3 + 4 = 7<br /><br />7 = 7</b> (Es una solución válida)<br /><br /><b>2x - 5y = -8<br /><br />2(1) - 5(2) = -8<br /><br />2 - 10 = -8<br /><br />-8 = -8</b> (Es una solución válida)</span><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b>Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones lineales es <i>x = 1 y y = 2</i>.</b></span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><br /></b></span></p><div class="MsoNormal">
<h3 style="font-weight: bold;"><span style="color: #38761d;"><a href="https://lasmatesfaciles.com/2019/03/19/sistema-de-ecuaciones-2x2-metodo-de-igualacion/" target="_blank">Solución de un Sistema de 2 x 2 por el Método de Igualación</a></span></h3>
</div>
<p style="font-weight: bold; text-align: left;"><span style="font-size: medium;">
Forma de resolver el sistema por el método de igualción, escogemos
una letra para despejar y luego igualamos las expresiones
resultantes, lo cual nos permite trabajar con una de las letras.
</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b>Ejercicio:</b> Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x2 por el método de igualación:</span></p><div class="MsoNormal"><div style="text-align: left;"><div style="text-align: center;"><span style="font-size: large;"><b>2x - 3y = 4 </b>(primera ecuación)</span></div><span style="font-size: medium;"><div style="text-align: center;"><b>4x + y = 7 </b>(segunda ecuación)</div></span></div><p class="MsoNormal" style="font-weight: bold;"><o:p></o:p></p>
<p class="MsoNormal" style="font-weight: bold;"><o:p></o:p></p><span style="font-size: medium;"><b><i><u>Solución</u>:</i></b></span><br /><h4 style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><i>Paso 1: Despejar una variable en ambas ecuaciones. </i></span></h4><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">En este caso, despejaremos <b><i>y</i></b> en la primera ecuación y <b><i>x</i></b> en la segunda ecuación:</span></p><span style="font-size: medium;"><b><br />2x - 3y = 4<br /><br />-3y = -2x + 4<br /><br />y = (2/3)x - (4/3)<br /><br />4x + y = 7<br /><br />y = -4x + 7</b></span></div><div class="MsoNormal"><br /></div><div class="MsoNormal"><h4 style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><i>Paso 2: Igualar ambas expresiones de y:</i></span></h4><br /><div style="text-align: left;"><b><span style="font-size: medium;">(2/3)x - (4/3) = -4x + 7</span></b></div><h4 style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><i>Paso 3: Resolver la ecuación resultante para x:</i></span></h4><br /><span style="font-size: medium;"><b>(2/3)x + 4x = 7 + (4/3)<br /><br />(14/3)x = (25/3)<br /><br />x = (25/3) ÷ (14/3)<br /><br />x = 25/14</b></span><br /><h4 style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><i>Paso 4: Sustituir el valor encontrado de x en cualquiera de las expresiones de y que obtuvimos en el paso 1 para encontrar y:</i></span></h4><span style="font-size: medium;"><b><br />y = (2/3)x - (4/3)<br /><br />y = (2/3)(25/14) - (4/3)<br /><br />y = 5/7 - (16/21)<br /><br />y = (5/7) - (8/21)<br /><br />y = (15/21) - (8/21)<br /><br />y = 7/21</b></span><br /><h4 style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><i><br />Paso 5: Verificar la solución reemplazando los valores encontrados de x e y en ambas ecuaciones originales:</i></span></h4><span style="font-size: medium;"><b><br />2x - 3y = 4<br /><br />2(25/14) - 3(7/21) = 4<br /><br />(25/7) - (9/7) = 4<br /><br />16/7 = 4<br /><br />4 = 4 </b>(Es una solución válida)<br /><br /> <br /><br /><b>4x + y = 7</b><br /><br /><b>4(25/14) + (7/21) = 7</b><br /><br /><b>(50/7) + (1/3) = 7</b><br /><br /><b>(150/21) + (7/21) = 7</b><br /><br /><b>157/21 = 7</b><br /> </span><p class="MsoNormal"><span style="font-size: medium;"><b>7 = 7 </b>(Es una solución válida)</span><b><o:p></o:p></b></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones lineales es x = 25/14 y y = 7/21.</span></p></div>
<div class="MsoNormal" style="font-weight: bold;"><br /></div><br /></div>Unknownnoreply@blogger.comH3XJ+W2 La Soledad, Zacatecas, México22.5998494 -101.9199972-8.2824451663120122 -137.0762472 53.482143966312009 -66.763747199999983tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-53565843676397723912023-04-03T10:45:00.000-07:002023-04-03T10:45:52.814-07:00SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS EJERCICIOS RESUELTOS<h1 style="text-align: left;"><span style="color: #0b5394;">Suma y Resta de Números Enteros | Ejercicios Resueltos</span></h1><div><h2 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4F4CGnAQcR8Qa4Hc9fBzQJcDFEmQD-4tmndjMwnAMgMR3UV3YphDs9ZYXWqVQQ2GRwrzOE4f2tkyOFeEDZiTTh0jpMQlPSaDjMVHmBXpVw0lDGysYQNk5uxDuB6rf_JZUlmtVxge-pWemyQ4oxkcUcGAuim1j0fPhQCjztfONDxKkrl1v4D6AKd8B/s700/suma%20y%20resta%20de%20enteros.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4F4CGnAQcR8Qa4Hc9fBzQJcDFEmQD-4tmndjMwnAMgMR3UV3YphDs9ZYXWqVQQ2GRwrzOE4f2tkyOFeEDZiTTh0jpMQlPSaDjMVHmBXpVw0lDGysYQNk5uxDuB6rf_JZUlmtVxge-pWemyQ4oxkcUcGAuim1j0fPhQCjztfONDxKkrl1v4D6AKd8B/s320/suma%20y%20resta%20de%20enteros.png" width="320" /></a></div>1. Introducción a la Suma de Números Enteros</span></h2><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px 0px 1.25em;"><span style="font-size: medium;">La suma de números enteros es una operación aritmética básica que consiste en encontrar la cantidad total resultante de sumar dos o más números enteros. En este tema, se presentarán los conceptos básicos de la suma de números enteros y se proporcionarán ejemplos resueltos paso a paso.</span></p><h2 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">2. Reglas básicas para la Suma de Números Enteros</span></h2><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 1.25em 0px;"></p><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">A. Suma de dos números enteros</span></i></h3><span style="font-size: medium;">Cuando se suman dos números enteros, se debe seguir la siguiente regla: si ambos números son positivos, se suman; si ambos son negativos, se suman y se coloca el signo negativo en el resultado; si uno de los números es positivo y el otro es negativo, se restan y se coloca el signo del número con mayor valor absoluto en el resultado.</span><p></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 1.25em 0px;"></p><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">B. Suma de tres o más números enteros</span></i></h3><span style="font-size: medium;">Cuando se suman tres o más números enteros, se puede realizar la suma de dos números a la vez o se pueden agrupar los números de forma que se sumen todos los números positivos y luego todos los números negativos. La suma final es el resultado de restar la suma de los números negativos a la suma de los números positivos.</span><p></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 1.25em 0px;"></p><h2 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">3. Ejercicios resueltos paso a paso</span></h2><span style="font-size: medium;">A continuación se presentan 10 ejemplos resueltos paso a paso de suma de números enteros:</span><p></p><ol style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b>3 + 5 = 8</b></span></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b>-4 + 7 = 3</b></span></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b>2 + (-6) = -4</b></span></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b>-8 + (-2) = -10</b></span></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b>4 + (-5) + 8 = 7</b></span></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b>-3 + 6 - 2 = 1</b></span></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b>9 + (-3) - 7 + 2 = 1</b></span></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b>-10 + 5 - 8 + 12 = -1</b></span></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b>2 + 4 + (-6) - 3 = -3</b></span></span></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b>-5 + (-7) + 9 - 3 = -6</b></span></span></li></ol><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">En cada ejemplo, se aplicó la regla correspondiente para sumar los números enteros. En algunos ejemplos, se agruparon los números para realizar la suma de dos a la vez, mientras que en otros se sumaron todos los números positivos y luego todos los números negativos para obtener el resultado final.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Con estos ejemplos, se demuestra la importancia de conocer las reglas básicas de la suma de números enteros para poder realizar operaciones aritméticas precisas y obtener resultados correctos.</span></p><h2 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">4. Introducción a la Resta de Números Enteros</span></h2><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">En el ámbito de las matemáticas, la resta es una de las operaciones aritméticas más básicas. En términos generales, la resta implica la eliminación de una cantidad de otra. Por ejemplo, si se tiene un total de 10 manzanas y se quitan 4, se tendrán 6 manzanas restantes.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">En el caso de los números enteros, la resta implica la diferencia entre dos valores enteros. En otras palabras, la resta de números enteros es el proceso de encontrar la diferencia entre dos números enteros.</span></p><h2 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">5. Reglas para la Resta de Números Enteros</span></h2><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b>La resta de números enteros se rige por las siguientes reglas:</b></span></p><ol style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">La resta de un número positivo y un número negativo se convierte en una suma.
Ejemplo: 5 - (-3) = 5 + 3 = 8</span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">La resta de dos números negativos se convierte en una suma.
Ejemplo: -7 - (-3) = -7 + 3 = -4</span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">La resta de dos números positivos se realiza normalmente.
Ejemplo: 10 - 4 = 6</span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">La resta de un número negativo y un número positivo se realiza normalmente, pero se cambia el signo del número negativo.
Ejemplo: -8 - 3 = -(8 + 3) = -11</span></span></p></li></ol><h2 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">6. Ejercicios Resueltos Sobre Resta de Enteros</span></h2><ol style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">5 - 3 = 2
En este ejemplo, se realiza la resta de dos números positivos. La respuesta es 2.</span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">-8 - (-3) = -8 + 3 = -5
En este ejemplo, se resta un número negativo de otro número negativo. La respuesta es -5.</span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">7 - (-2) = 7 + 2 = 9
En este ejemplo, se resta un número negativo de un número positivo. La respuesta es 9.</span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">-5 - 3 = -(5 + 3) = -8
En este ejemplo, se resta un número positivo de un número negativo. La respuesta es -8.</span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">0 - (-7) = 0 + 7 = 7
En este ejemplo, se resta un número negativo de cero. La respuesta es 7.</span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">4 - 4 = 0
En este ejemplo, se resta dos números iguales. La respuesta es 0.</span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">-6 - (-6) = -6 + 6 = 0
En este ejemplo, se resta un número negativo de otro número negativo, pero ambos números son iguales. La respuesta es 0.</span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">9 - 12 = -3
En este ejemplo, se resta un número positivo de otro número positivo, pero el resultado es negativo. La respuesta es -3.</span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">-2 - 5 = -(2 + 5) = -7
En este ejemplo, se resta un número positivo de un número negativo. La respuesta es -7.</span></span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">-10 - (-8) = -10 + 8 = -2
En este ejemplo, se resta un número negativo de otro número negativo, pero el resultado es positivo. La respuesta es -2.</span></span></p></li></ol><div><span style="color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, Segoe UI, Roboto, Ubuntu, Cantarell, Noto Sans, sans-serif, Helvetica Neue, Arial, Apple Color Emoji, Segoe UI Emoji, Segoe UI Symbol, Noto Color Emoji;"><span style="white-space: pre-wrap;"><br /></span></span></div></div><div>
</div>Unknownnoreply@blogger.comC34J+32 La Unión, Zac., México24.4051858 -101.91999728.5164741833154274 -119.4981222 40.293897416684572 -84.3418722tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-77895292592267306252023-04-03T09:58:00.000-07:002023-04-03T09:58:00.201-07:00EJERCICIOS RESUELTOS TEOREMA DEL SENO Y COSENO<h1 style="text-align: left;"><span style="color: #0b5394;">EJERCICIOS RESUELTOS TEOREMA DEL SENO Y COSENO </span></h1><h2 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQoBeJWuZaiGw1ItC60Zf0-NmO8Q5m5DdRQ1E1OSy1_kjbw4AcAyH8NjtAxmF8aqt5aG7b0q0Ob08fTkPYBzNXmU84UShN4_4gJASJB0bu3WGHnItnvOj6d40hcKGZgAYQ5xYla8vFo_vZdd88YbnNmYpVW8eYm_ZC0xRtuxc6YNhCv-fRNCS2JdMs/s700/seno%20y%20coseno.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="146" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQoBeJWuZaiGw1ItC60Zf0-NmO8Q5m5DdRQ1E1OSy1_kjbw4AcAyH8NjtAxmF8aqt5aG7b0q0Ob08fTkPYBzNXmU84UShN4_4gJASJB0bu3WGHnItnvOj6d40hcKGZgAYQ5xYla8vFo_vZdd88YbnNmYpVW8eYm_ZC0xRtuxc6YNhCv-fRNCS2JdMs/w204-h146/seno%20y%20coseno.png" width="204" /></a></div>1.Teorema del Seno | Ejercicios Resueltos</span></h2><div><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><span style="color: #990000;">Ejercicio 1</span></b>: Dado un triángulo ABC con ángulos ∠A = 50°, ∠B = 70° y ∠C = 60° y un lado conocido de medida AB = 8 cm, encuentra la medida de los otros dos lados del triángulo.</span></p><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b></span><ol style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; text-align: left; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white; font-family: inherit; font-size: medium;"><b><span style="color: #351c75;">Aplicamos el teorema del seno para encontrar el lado AC:</span></b><span style="color: #374151;">
</span></span></p><p style="color: #374151;"><span style="background-color: white; font-family: inherit;"><span style="font-size: medium;">sen(50°)/8 = sen(60°)/AC<br /></span><span style="font-size: medium;">AC = 8·sen(60°)/sen(50°) ≈ 9.318 cm</span><br /><span style="font-size: medium;">sen(70°)/BC = sen(60°)/AC</span><br /><span style="font-size: medium;">BC = AC·sen(70°)/sen(60°) ≈ <b>10.17 cm</b></span></span></p><p style="color: #374151;"></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="font-size: medium;"><span style="background-color: white; color: #351c75; font-family: inherit;"><b>Aplicamos el teorema del seno para encontrar el lado BC:</b></span><span style="background-color: #f7f7f8; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, Segoe UI, Roboto, Ubuntu, Cantarell, Noto Sans, sans-serif, Helvetica Neue, Arial, Apple Color Emoji, Segoe UI Emoji, Segoe UI Symbol, Noto Color Emoji;">
</span></span></p></li></ol><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, los lados del triángulo ABC son AB = 8 cm, AC ≈ 9.318 cm y BC ≈ <b>10.17 cm</b>.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><span style="color: #990000;">Ejercicio 2</span></b>: En un triángulo ABC, se sabe que AB = 5 cm, AC = 8 cm y el ángulo ∠BAC mide 120°. Encuentra la medida del lado BC.</span></p><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b></span><ol style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; counter-reset: item 0; display: flex; flex-direction: column; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; list-style-image: initial; list-style-position: initial; margin: 1.25em 0px; padding: 0px 0px 0px 1rem; white-space: pre-wrap;"><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white; font-size: medium;">Aplicamos el teorema del seno:
BC/sen(120°) = AB/sen(∠BCA) = AC/sen(∠CAB)</span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white; font-size: medium;">Despejamos BC:
BC = sen(120°)·AC/sen(∠CAB)
BC = √3·8/sen(∠CAB)</span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white; font-size: medium;">Usando la ley de cosenos, sabemos que:
cos(∠CAB) = (AC^2 + AB^2 - BC^2)/(2·AC·AB)
cos(∠CAB) = (8^2 + 5^2 - BC^2)/(2·8·5)
cos(∠CAB) = (89 - BC^2)/80</span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white; font-size: medium;">Despejamos sen(∠CAB) usando la identidad trigonométrica:
sen^2(∠CAB) = 1 - cos^2(∠CAB)
sen^2(∠CAB) = 1 - (89 - BC^2)/80
sen^2(∠CAB) = (BC^2 - 9)/80
sen(∠CAB) = √((BC^2 - 9)/80)</span></p></li><li style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px; padding-left: 0.375em;"><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; margin: 0px;"><span style="background-color: white; font-size: medium;">Sustituimos sen(∠CAB) en la ecuación de BC:
BC = √3·8/sen(∠CAB) = √3·8/√((BC^2 - 9)/80)
BC^2 = (3/4)·(BC^2 - 9)/80·64
BC ≈ 6.858 cm</span></p></li></ol><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, el lado BC mide aproximadamente 6.858 cm.</span></p><h2 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">2. Ejercicios Resueltos del Teorema del Seno Organizados en Tabla</span></h2><h2 style="text-align: left;"><table style="--tw-border-spacing-x: 0px; --tw-border-spacing-y: 0px; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; background-color: #f7f7f8; border-color: inherit; border-image: initial; border-spacing: var(--tw-border-spacing-x) var(--tw-border-spacing-y); border-style: solid; border-width: 0px; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; font-size: 0.875em; line-height: 1.71429; margin-bottom: 2em; margin-top: 2em; table-layout: auto; text-indent: 0px; white-space: pre-wrap; width: 653px;"><thead style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-color: var(--tw-prose-th-borders); border-image: initial; border-left-color: rgb(217, 217, 227); border-right-color: rgb(217, 217, 227); border-style: solid; border-top-color: rgb(217, 217, 227); border-width: 0px 0px 1px; box-sizing: border-box;"><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; 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border-width: 1px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; color: var(--tw-prose-headings); padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: bottom;"><span style="font-size: small;">#</span></th><th style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; background-color: rgba(236, 236, 241, 0.2); border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 1px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; color: var(--tw-prose-headings); padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: bottom;"><span style="font-size: small;">Datos</span></th><th style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; background-color: rgba(236, 236, 241, 0.2); border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 1px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; color: var(--tw-prose-headings); padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: bottom;"><span style="font-size: small;">Fórmula</span></th><th style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; background-color: rgba(236, 236, 241, 0.2); border-top-right-radius: 0.375rem; border: 1px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: var(--tw-prose-headings); padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: bottom;"><span style="font-size: small;">Solución</span></th></tr></thead><tbody style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box;"><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-color: var(--tw-prose-td-borders); border-image: initial; border-left-color: rgb(217, 217, 227); border-right-color: rgb(217, 217, 227); border-style: solid; border-top-color: rgb(217, 217, 227); border-width: 0px 0px 1px; box-sizing: border-box;"><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">1</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">a = 8, b = 10, A = 45°</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">a/sen(A) = 8/sen(45°) = 11.31</span></td></tr><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-color: var(--tw-prose-td-borders); border-image: initial; border-left-color: rgb(217, 217, 227); border-right-color: rgb(217, 217, 227); border-style: solid; border-top-color: rgb(217, 217, 227); border-width: 0px 0px 1px; box-sizing: border-box;"><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">b/sen(B) = 10/sen(B) = 14.14</span></td></tr><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-color: var(--tw-prose-td-borders); border-image: initial; border-left-color: rgb(217, 217, 227); border-right-color: rgb(217, 217, 227); border-style: solid; border-top-color: rgb(217, 217, 227); border-width: 0px 0px 1px; box-sizing: border-box;"><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">c/sen(C) = c/sen(90°-A-B) = 15.56</span></td></tr><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-color: var(--tw-prose-td-borders); border-image: initial; border-left-color: rgb(217, 217, 227); border-right-color: rgb(217, 217, 227); border-style: solid; border-top-color: rgb(217, 217, 227); border-width: 0px 0px 1px; box-sizing: border-box;"><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">2</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; 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border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">a/sen(A) = 5/sen(60°) = 5.77</span></td></tr><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-color: var(--tw-prose-td-borders); border-image: initial; border-left-color: rgb(217, 217, 227); border-right-color: rgb(217, 217, 227); border-style: solid; border-top-color: rgb(217, 217, 227); border-width: 0px 0px 1px; box-sizing: border-box;"><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">b/sen(B) = 7/sen(B) = 8.09</span></td></tr><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-color: var(--tw-prose-td-borders); border-image: initial; border-left-color: rgb(217, 217, 227); border-right-color: rgb(217, 217, 227); border-style: solid; border-top-color: rgb(217, 217, 227); border-width: 0px 0px 1px; box-sizing: border-box;"><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; 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--tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">c/sen(C) = c/sen(90°-A-B) = 9.43</span></td></tr><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; 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--tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">a = 6, b = 9, C = 30°</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; 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padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">a/sen(A) = 6/sen(60°) = 6.93</span></td></tr><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-color: var(--tw-prose-td-borders); border-image: initial; border-left-color: rgb(217, 217, 227); border-right-color: rgb(217, 217, 227); border-style: solid; border-top-color: rgb(217, 217, 227); border-width: 0px 0px 1px; box-sizing: border-box;"><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; 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border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; 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--tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">c/sen(C) = c/sen(30°) = 12</span></td></tr><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-color: var(--tw-prose-td-borders); border-image: initial; border-left-color: rgb(217, 217, 227); border-right-color: rgb(217, 217, 227); border-style: solid; border-top-color: rgb(217, 217, 227); border-width: 0px 0px 1px; box-sizing: border-box;"><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">4</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">b = 12, c = 15, A = 40°</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">a/sen(A) = a/sen(40°) = 8.46</span></td></tr><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-color: var(--tw-prose-td-borders); border-image: initial; border-left-color: rgb(217, 217, 227); border-right-color: rgb(217, 217, 227); border-style: solid; border-top-color: rgb(217, 217, 227); border-width: 0px 0px 1px; box-sizing: border-box;"><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; 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box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">b/sen(B) = 12/sen(B) = 14.55</span></td></tr><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; 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border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; 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border-width: 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">c/sen(C) = 15/sen(C) = 23.09</span></td></tr><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-color: var(--tw-prose-td-borders); border-image: initial; border-left-color: rgb(217, 217, 227); border-right-color: rgb(217, 217, 227); border-style: solid; border-top-color: rgb(217, 217, 227); border-width: 0px 0px 1px; box-sizing: border-box;"><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">5</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; 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--tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">a/sen(A) = 8/sen(110°) = -5.38</span></td></tr><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-color: var(--tw-prose-td-borders); border-image: initial; border-left-color: rgb(217, 217, 227); border-right-color: rgb(217, 217, 227); border-style: solid; border-top-color: rgb(217, 217, 227); border-width: 0px 0px 1px; box-sizing: border-box;"><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">b/sen(B) = 10/sen(70°) = 13.29</span></td></tr><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-color: var(--tw-prose-td-borders); border-image: initial; border-left-color: rgb(217, 217, 227); border-right-color: rgb(217, 217, 227); border-style: solid; border-top-color: rgb(217, 217, 227); border-width: 0px; box-sizing: border-box;"><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-left-radius: 0.375rem; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-right-radius: 0.375rem; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">c/sen(C) = c/sen(70°) = 12.02</span></td></tr></tbody></table><span style="color: #38761d;">3.Teorema del Coseno | Ejercicios Resueltos</span></h2><div style="margin-bottom: 5px;"><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><span style="color: #990000;">Ejercicio 1</span></b>: Dados los lados de un triángulo ABC de medida a = 7, b = 9 y c = 10, encuentra el ángulo opuesto al lado c.</span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; margin: 1.25em 0px; white-space: pre-wrap;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b>
Para encontrar el ángulo opuesto al lado c, utilizamos el teorema del coseno. Primero, calculamos el coseno del ángulo opuesto al lado c:
cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
cos(C) = (7^2 + 9^2 - 10^2) / (2<em style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box;">7</em>9)
cos(C) = 0.575
Ahora, despejamos el ángulo C utilizando la función inversa del coseno:
C = cos^-1(0.575)
C = 55.27°</span></span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, el ángulo opuesto al lado c mide aproximadamente 55.27°.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><span style="color: #990000;">Ejercicio 2</span></b>: Un triángulo tiene un lado de medida 10 cm y los otros dos lados miden 8 cm y 6 cm. Encuentra el ángulo opuesto al lado de 10 cm.</span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; margin: 1.25em 0px; white-space: pre-wrap;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b>
De nuevo, utilizamos el teorema del coseno para encontrar el ángulo opuesto al lado de 10 cm. Primero, identificamos los lados del triángulo y el ángulo opuesto:
a = 10 cm, b = 8 cm, c = 6 cm
A es el ángulo opuesto al lado a.</span></span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; margin: 1.25em 0px; white-space: pre-wrap;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Ahora, calculamos el coseno del ángulo A:
cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)
cos(A) = (8^2 + 6^2 - 10^2) / (2<em style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box;">8</em>6)
cos(A) = 0.25</span></span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; margin: 1.25em 0px; white-space: pre-wrap;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Despejamos el ángulo A utilizando la función inversa del coseno:
A = cos^-1(0.25)
A = 75.52°</span></span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, el ángulo opuesto al lado de 10 cm mide aproximadamente 75.52°.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><span style="color: #990000;">Ejercicio 3</span></b>: En un triángulo ABC, los lados tienen medida a = 5 cm, b = 7 cm y c = 8 cm. Encuentra la medida del ángulo opuesto al lado b.</span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; margin: 1.25em 0px; white-space: pre-wrap;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Solución:
</i></b>De nuevo, utilizamos el teorema del coseno para encontrar la medida del ángulo opuesto al lado b. Primero, identificamos los lados del triángulo y el ángulo opuesto:
a = 5 cm, b = 7 cm, c = 8 cm
A es el ángulo opuesto al lado a.</span></span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; margin: 1.25em 0px; white-space: pre-wrap;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Calculamos el coseno del ángulo A:
cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)
cos(A) = (7^2 + 8^2 - 5^2) / (2<em style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box;">7</em>8)
cos(A) = 0.634</span></span></p><p style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; margin: 1.25em 0px; white-space: pre-wrap;"><span style="background-color: white;"><span style="font-size: medium;">Despejamos el ángulo A utilizando la función inversa del coseno:
A = cos^-1(0.634)
A = 50.17°</span></span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, el ángulo opuesto al lado b mide aproximadamente 50.17°.</span></p><h2 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">4. Ejercicios Resueltos del Teorema del Coseno Organizados en Tabla</span></h2><table style="--tw-border-spacing-x: 0px; --tw-border-spacing-y: 0px; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; background-color: #f7f7f8; border-color: inherit; border-image: initial; border-spacing: var(--tw-border-spacing-x) var(--tw-border-spacing-y); border-style: solid; border-width: 0px; color: #374151; font-family: Söhne, ui-sans-serif, system-ui, -apple-system, "Segoe UI", Roboto, Ubuntu, Cantarell, "Noto Sans", sans-serif, "Helvetica Neue", Arial, "Apple Color Emoji", "Segoe UI Emoji", "Segoe UI Symbol", "Noto Color Emoji"; font-size: 0.875em; line-height: 1.71429; margin-bottom: 0px; margin-top: 2em; table-layout: auto; text-indent: 0px; white-space: pre-wrap; width: 653px;"><thead style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-color: var(--tw-prose-th-borders); border-image: initial; border-left-color: rgb(217, 217, 227); border-right-color: rgb(217, 217, 227); border-style: solid; border-top-color: rgb(217, 217, 227); border-width: 0px 0px 1px; box-sizing: border-box;"><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box;"><th style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; background-color: rgba(236, 236, 241, 0.2); border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-top-left-radius: 0.375rem; border-width: 1px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; color: var(--tw-prose-headings); padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: bottom;"><span style="font-size: small;">Ejercicio </span></th><th style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; background-color: rgba(236, 236, 241, 0.2); border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 1px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; color: var(--tw-prose-headings); padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: bottom;"><span style="font-size: small;">Datos</span></th><th style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; background-color: rgba(236, 236, 241, 0.2); border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 1px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; color: var(--tw-prose-headings); padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: bottom;"><span style="font-size: small;">Fórmula utilizada</span></th><th style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; background-color: rgba(236, 236, 241, 0.2); border-top-right-radius: 0.375rem; border: 1px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box; color: var(--tw-prose-headings); padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: bottom;"><span style="font-size: small;">Solución</span></th></tr></thead><tbody style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border: 0px solid rgb(217, 217, 227); box-sizing: border-box;"><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-color: var(--tw-prose-td-borders); border-image: initial; border-left-color: rgb(217, 217, 227); border-right-color: rgb(217, 217, 227); border-style: solid; border-top-color: rgb(217, 217, 227); border-width: 0px 0px 1px; box-sizing: border-box;"><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">1</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">a = 10 cm, b = 8 cm, c = 12 cm, ∠A = 40°</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">c² = a² + b² - 2ab cos(∠C)</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">c² = 10² + 8² - 2(10)(8)cos(40°) = 144.2 cm², c ≈ 12.00 cm</span></td></tr><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-color: var(--tw-prose-td-borders); border-image: initial; border-left-color: rgb(217, 217, 227); border-right-color: rgb(217, 217, 227); border-style: solid; border-top-color: rgb(217, 217, 227); border-width: 0px 0px 1px; box-sizing: border-box;"><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">2</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">a = 5 m, b = 7 m, ∠C = 120°, ∠A = 40°</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">c² = a² + b² - 2ab cos(∠C)</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">c² = 5² + 7² - 2(5)(7)cos(120°) = 34 + 35cos(120°) = 69.5 m², c ≈ 8.34 m</span></td></tr><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-color: var(--tw-prose-td-borders); border-image: initial; border-left-color: rgb(217, 217, 227); border-right-color: rgb(217, 217, 227); border-style: solid; border-top-color: rgb(217, 217, 227); border-width: 0px 0px 1px; box-sizing: border-box;"><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">3</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">a = 8 cm, b = 10 cm, c = 12 cm, ∠A = 30°</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">b² = a² + c² - 2ac cos(∠B)</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">b² = 8² + 12² - 2(8)(12)cos(30°) = 196 cm², b = √196 = 14 cm</span></td></tr><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-color: var(--tw-prose-td-borders); border-image: initial; border-left-color: rgb(217, 217, 227); border-right-color: rgb(217, 217, 227); border-style: solid; border-top-color: rgb(217, 217, 227); border-width: 0px 0px 1px; box-sizing: border-box;"><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">4</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">a = 12 m, b = 10 m, c = 8 m, ∠A = 70°</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">a² = b² + c² - 2bc cos(∠A)</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">a² = 10² + 8² - 2(10)(8)cos(70°) = 179.5 m², a ≈ 13.4 m</span></td></tr><tr style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-color: var(--tw-prose-td-borders); border-image: initial; border-left-color: rgb(217, 217, 227); border-right-color: rgb(217, 217, 227); border-style: solid; border-top-color: rgb(217, 217, 227); border-width: 0px; box-sizing: border-box;"><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-left-radius: 0.375rem; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">5</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">a = 6 cm, b = 7 cm, c = 9 cm, ∠A = 60°, ∠B = 50°</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">c² = a² + b² - 2ab cos(∠C), ∠C = 180° - ∠A - ∠B</span></td><td style="--tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-ring-color: rgba(59,130,246,0.5); --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-rotate: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; border-bottom-right-radius: 0.375rem; border-color: rgb(217, 217, 227); border-image: initial; border-style: solid; border-width: 0px 1px 1px; box-sizing: border-box; padding: 0.25rem 0.75rem; vertical-align: baseline;"><span style="font-size: small;">c² = 6² + 7² - 2(6)(7)cos(70°) = 24.4 cm², c ≈ 4.94 cm, ∠C ≈ 70°</span></td></tr></tbody></table>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
</div></div>Unknownnoreply@blogger.comMéxico23.634501 -102.552784-4.6757328361788453 -137.709034 51.944734836178846 -67.396534tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-90843440097987407422023-04-03T05:40:00.000-07:002023-04-03T05:40:57.339-07:00Suma de Fraccionarios Ejercicios Resueltos<h1 style="text-align: left;"><span style="color: #0b5394;">Suma de Fraccionarios | Ejercicios Resueltos
</span></h1><h2 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiI4Ozb5vzAwcyd_QztR3cgjJIEhf7Um6UgdpH70ya0WgZdgcc56wrTwS1OJiZ42X78yNLwXwZi1vpuUxOVIfIKvIzoy5WQxv30R6gjCqzBCAKQK9j1VjlDT0KBgw0VUCDaLDUM7P7I2eltgjEmjxLIqtrRaHHfpbae-L9vr0E7t1mzrSacTuplUdKH/s700/suma%20de%20fracciones.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="235" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiI4Ozb5vzAwcyd_QztR3cgjJIEhf7Um6UgdpH70ya0WgZdgcc56wrTwS1OJiZ42X78yNLwXwZi1vpuUxOVIfIKvIzoy5WQxv30R6gjCqzBCAKQK9j1VjlDT0KBgw0VUCDaLDUM7P7I2eltgjEmjxLIqtrRaHHfpbae-L9vr0E7t1mzrSacTuplUdKH/w329-h235/suma%20de%20fracciones.png" width="329" /></a></div>1. Introducción a las Fracciones</span></h2><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">A. Definición de fracciones:</span></i></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Una fracción es una expresión matemática que representa una cantidad que se divide en partes iguales. Se representa como una línea horizontal que divide un número entero en dos partes, una parte superior llamada numerador y una parte inferior llamada denominador. El numerador indica cuántas partes iguales de la cantidad total se están considerando, mientras que el denominador indica en cuántas partes se divide la cantidad total.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Por ejemplo, si queremos representar la fracción que corresponde a la mitad de un objeto, podemos escribirlo como 1/2, donde 1 es el numerador y 2 es el denominador. Esto significa que la cantidad total se ha dividido en dos partes iguales y se está considerando una de ellas.</span></p><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">B. Operaciones básicas con fracciones:</span></i></h3><span style="font-size: medium;">Las operaciones básicas con fracciones son la suma, resta, multiplicación y división. Para sumar o restar fracciones, es necesario que tengan el mismo denominador, si no es así, es necesario buscar un denominador común para poder operar. Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores. Para dividir fracciones, se multiplica la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda fracción.</span><br /><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Es importante simplificar las fracciones resultantes de estas operaciones, es decir, reducirlas a su mínima expresión, donde el numerador y el denominador no tienen factores comunes mayores que 1.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Por ejemplo, para sumar 1/3 y 2/5, se necesita buscar un denominador común, que en este caso sería 15. Entonces, se convierten ambas fracciones a 15avos, quedando 5/15 y 6/15 respectivamente. Finalmente, se suman los numeradores y se mantiene el denominador común, quedando 11/15.</span></p><h2 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">2. Suma de fracciones con igual denominador</span></h2><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">A. Reglas básicas</span></i></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Cuando se suman fracciones con el mismo denominador, se suman simplemente los numeradores y se conserva el denominador. La regla general para la suma de fracciones con el mismo denominador es la siguiente:</span></p><div style="text-align: center;"><span style="font-size: medium;"><b><i>a/b + c/b = (a + c)/b</i></b></span></div><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Es importante mencionar que para sumar fracciones, el denominador debe ser el mismo, lo que significa que las fracciones deben tener un denominador común.</span></p><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">B. Ejemplos resueltos</span></i></h3><div style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>Ejemplo 1:</i></b></span></div><span style="font-size: medium;"><br />Calcule la suma de las fracciones 3/4 y 5/4.<br /><br /><b><i><span style="color: #134f5c;">Solución:</span></i></b></span><br /><br /><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Como las fracciones tienen el mismo denominador, se suman simplemente los numeradores y se conserva el denominador:</span></p><br /><span style="font-size: medium;">3/4 + 5/4 = (3 + 5)/4 = 8/4 = 2</span><br /><br /><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, la suma de las fracciones 3/4 y 5/4 es igual a 2.</span></p><br /><span style="font-size: medium;"><b><i>Ejemplo 2:</i></b></span><br /><br /><span style="font-size: medium;">Calcule la suma de las fracciones 2/5 y 1/5.</span><br /><br /><span style="color: #134f5c; font-size: medium;"><b><i>Solución:</i></b></span><br /><br /><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Como las fracciones tienen el mismo denominador, se suman simplemente los numeradores y se conserva el denominador:</span></p><span style="font-size: medium;">2/5 + 1/5 = (2 + 1)/5 = 3/5</span><div><span style="font-size: medium;"><br /></span><br /><span style="font-size: medium;">Por lo tanto, la suma de las fracciones 2/5 y 1/5 es igual a 3/5.</span><br /><br /><h2 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">3. Suma de fracciones con denominadores diferentes</span></h2><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Cuando se tienen fracciones con denominadores diferentes, no se pueden sumar directamente. Para sumar estas fracciones, es necesario encontrar un denominador común, que es el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores. El proceso de sumar fracciones con diferentes denominadores se puede desglosar en los siguientes pasos:</span></p><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">A. Cálculo del mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores:</span></i> </h3></div><div><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">El mcm de dos o más números es el menor número que es múltiplo de cada uno de ellos. Para calcular el mcm de dos o más denominadores de fracciones, se pueden utilizar varios métodos, como la descomposición en factores primos o la regla del producto. Por ejemplo, si queremos sumar las fracciones 1/2 y 2/3, el mcm de los denominadores 2 y 3 es 6.</span></p><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">B. Reducción de fracciones a un denominador común: </span></i></h3></div><div><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Una vez que se ha encontrado el mcm de los denominadores, es necesario convertir cada fracción a un denominador común. Para hacer esto, se multiplican el numerador y el denominador de cada fracción por el mismo factor que convierte su denominador en el mcm. Por ejemplo, si queremos sumar las fracciones 1/2 y 2/3, y el mcm es 6, entonces la fracción 1/2 se convierte en 3/6 (multiplicando el numerador y el denominador por 3) y la fracción 2/3 se convierte en 4/6 (multiplicando el numerador y el denominador por 2).</span></p><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">C. Reglas para sumar fracciones con diferentes denominadores: </span></i></h3></div><div><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Una vez que se han reducido las fracciones a un denominador común, se suman los numeradores y se mantiene el denominador común. Es importante recordar que las fracciones equivalentes a una fracción dada se suman restando los numeradores y manteniendo el denominador común. Además, es importante simplificar la fracción resultante si es posible.</span></p><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">D. Ejercicios resueltos:</span></i> </h3></div><div><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Por ejemplo, para sumar las fracciones 1/2 y 2/3, se sigue el proceso descrito anteriormente. El mcm de 2 y 3 es 6. Para convertir 1/2 en una fracción con denominador 6, se multiplica el numerador y el denominador por 3, obteniendo 3/6. Para convertir 2/3 en una fracción con denominador 6, se multiplica el numerador y el denominador por 2, obteniendo 4/6. Finalmente, se suman las fracciones 3/6 y 4/6, obteniendo 7/6. La fracción resultante no se puede simplificar más, por lo que se considera la respuesta final.
</span></p><div style="text-align: center;"><br /></div>
<br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: large;"><br /></span>
</div></div>Unknownnoreply@blogger.comF89C+XV Minillas, Jal., México22.4699736 -103.67780976.4700127534855838 -121.2559347 38.469934446514415 -86.0996847tag:blogger.com,1999:blog-8649814275390968283.post-2490882030922599012023-04-03T05:02:00.000-07:002023-04-03T05:02:50.282-07:00Dominio de una función | Ejercicios Resueltos<h1 style="text-align: left;"><span style="color: #0b5394;">Dominio de una Función | Ejercicios Resueltos</span></h1><h2 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhL6JzZn1cymygIwnxetL8QOgVGGwIQybso0zwbnbLLxoKQOJTi7tea0z2I9yK8cs4Lce2utLgKxQbGpAl04jz8m9wgFFFLOuFv6Ry7daSMU5MIcVrlg5TCTrzdbfoRe6ZansgWzhaWIqthpvZTHOUr8vPc2-RCN66Kd2h7NIf2YZesG9aZwF01YRsf/s700/dominio%20de%20una%20funci%C3%B3n.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img alt="dominio de una función" border="0" data-original-height="500" data-original-width="700" height="181" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhL6JzZn1cymygIwnxetL8QOgVGGwIQybso0zwbnbLLxoKQOJTi7tea0z2I9yK8cs4Lce2utLgKxQbGpAl04jz8m9wgFFFLOuFv6Ry7daSMU5MIcVrlg5TCTrzdbfoRe6ZansgWzhaWIqthpvZTHOUr8vPc2-RCN66Kd2h7NIf2YZesG9aZwF01YRsf/w254-h181/dominio%20de%20una%20funci%C3%B3n.png" title="dominio de una función" width="254" /></a></div>1. Introducción </span></h2><div><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">A. Definición de función</span></i></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">En matemáticas, una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto, llamado dominio, exactamente un elemento de otro conjunto, llamado rango o imagen. En otras palabras, una función es una relación entre dos conjuntos, en la que cada elemento del dominio se relaciona con un único elemento del rango.</span></p><span style="font-size: medium;">Las funciones pueden representarse de diversas maneras, como mediante una fórmula matemática, una tabla de valores, una gráfica o mediante una descripción verbal. Las funciones son una herramienta fundamental en matemáticas, física, química, economía y muchas otras disciplinas, y se utilizan para modelar fenómenos naturales y sociales, hacer predicciones, resolver problemas, entre otras aplicaciones.</span><br /><br /><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">B. Importancia del dominio en el estudio de funciones</span></i></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">El dominio es un concepto fundamental en el estudio de funciones, ya que es el conjunto de valores para los cuales la función está definida. En otras palabras, es el conjunto de todos los valores de entrada que producen un valor de salida en la función.</span></p><span style="font-size: medium;">Es importante tener en cuenta el dominio al estudiar funciones, ya que una función puede estar bien definida para algunos valores de entrada, pero no para otros. Si intentamos evaluar la función en un valor que no pertenece al dominio, podemos obtener resultados no definidos o incluso errores.<br /><br />El dominio también nos permite determinar si una función es continua o discontinua en un punto, y nos da información sobre los límites de la función. Además, el dominio puede ayudarnos a identificar posibles asintotas verticales y horizontales de la función.<br /><br />En resumen, el dominio es un concepto fundamental en el estudio de funciones, ya que nos permite determinar para qué valores de entrada la función está definida y nos da información importante sobre las propiedades de la función.</span><br /><br /><h2 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">2. Dominio de funciones elementales</span></h2><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Las funciones elementales son aquellas que se utilizan con mayor frecuencia en las matemáticas y en la vida cotidiana. Cada tipo de función tiene una forma particular y un comportamiento específico que puede ser descrito mediante una ecuación matemática.</span></p><span style="font-size: medium;">A continuación, se describen las funciones elementales más comunes y se analiza el dominio de cada una de ellas:<br /></span><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #134f5c; font-size: medium;"><i>A. <u>Funciones lineales</u> </i></span></h3></div><div><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Las funciones lineales tienen la forma f(x) = mx + b, donde m y b son constantes. Estas funciones tienen un dominio que abarca todos los números reales, es decir, no hay restricciones en los valores que puede tomar la variable x.</span></p><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #134f5c; font-size: medium;"><i>B. <u>Funciones cuadráticas</u> </i></span></h3></div><div><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Las funciones cuadráticas tienen la forma f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son constantes. El dominio de una función cuadrática es también todos los números reales, ya que la variable x puede tomar cualquier valor.</span></p><h3 style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><i><span style="color: #134f5c;">C. <u>Funciones polinómicas</u></span></i> </span></h3></div><div><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Las funciones polinómicas tienen la forma f(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_1 x + a_0, donde a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0 son constantes y n es un número entero no negativo. El dominio de una función polinómica es todos los números reales.</span></p><h3 style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><span style="color: #134f5c;"><i>D. <u>Funciones racionales</u></i></span> </span></h3></div><div><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Las funciones racionales tienen la forma f(x) = p(x) / q(x), donde p(x) y q(x) son polinomios y q(x) ≠ 0. El dominio de una función racional está formado por todos los valores de x para los cuales el denominador no se anula. Es decir, el dominio está formado por todos los números reales excepto aquellos que hacen que el denominador sea igual a cero.</span></p><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #134f5c; font-size: medium;"><i>E. <u>Funciones exponenciales</u> </i></span></h3></div><div><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Las funciones exponenciales tienen la forma f(x) = a^x, donde a es una constante positiva y x es la variable independiente. El dominio de una función exponencial está formado por todos los números reales.</span></p><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #134f5c; font-size: medium;"><i>F. <u>Funciones logarítmicas</u> </i></span></h3></div><div><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Las funciones logarítmicas tienen la forma f(x) = log_a(x), donde a es una constante positiva y x es la variable independiente. El dominio de una función logarítmica está formado por todos los valores de x mayores que cero.</span></p><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #134f5c; font-size: medium;"><i>G. <u>Funciones trigonométricas</u> </i></span></h3></div><div><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Las funciones trigonométricas incluyen las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. El dominio de estas funciones está formado por todos los valores de x que hacen que el argumento de la función trigonométrica sea un ángulo válido en radianes. Por lo general, el dominio de estas funciones es todos los números reales.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><br /></span></p><h2 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">3. Propiedades del dominio</span></h2><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Las funciones matemáticas pueden ser descritas por sus reglas de correspondencia que asignan un valor de salida a cada valor de entrada. El dominio de una función es el conjunto de valores de entrada para los cuales la función está definida. Es decir, el dominio es el conjunto de todos los valores de x que pueden ser ingresados en una función para obtener una salida.</span></p><span style="font-size: medium;">A continuación, se presentan algunas de las propiedades más importantes del dominio de una función:</span><br /><br /><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">A. Propiedades algebraicas</span></i></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Operaciones aritméticas: El dominio de una función es cerrado bajo las operaciones aritméticas básicas como la suma, la resta, la multiplicación y la división. Sin embargo, el dominio puede restringirse en algunos casos, como cuando se divide por cero.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Composición de funciones: El dominio de la composición de dos funciones es el conjunto de valores de entrada para los cuales ambas funciones están definidas. Es decir, la función compuesta solo está definida en los valores de entrada que son parte del dominio de ambas funciones.</span></p><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">B. Propiedades topológicas</span></i></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Continuidad: Una función es continua en un punto si el límite de la función en ese punto existe y es igual al valor de la función en ese punto. El dominio de una función continua está siempre abierto.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Conexidad: El dominio de una función conexa es un intervalo, es decir, un conjunto de números reales que está incluido entre dos números reales dados.</span></p><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">C. Propiedades de continuidad</span></i></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Continuidad uniforme: Una función es uniformemente continua si para cualquier ε > 0 existe un δ > 0 tal que si |x - y| < δ, entonces |f(x) - f(y)| < ε para todos los puntos x e y en el dominio de la función.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Continuidad absoluta: Una función es absolutamente continua si satisface una condición más fuerte que la continuidad uniforme. En particular, debe ser continua y su derivada debe ser integrable en un sentido apropiado.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Estas propiedades son fundamentales para el análisis de funciones y tienen una gran aplicación en diferentes ramas de la matemática y la física. Es importante recordar que el dominio de una función puede variar dependiendo de su definición y que su estudio es clave para comprender la estructura y el comportamiento de la función en cuestión.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><br /></span></p><h2 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">4. Cálculo del dominio de una función</span></h2><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de entrada (x) para los cuales la función produce un resultado real. En algunos casos, el dominio puede ser explícitamente definido en la expresión de la función, mientras que en otros, puede ser necesario aplicar reglas generales para determinar el dominio.</span></p><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">A. Reglas generales</span></i></h3><span style="font-size: medium;">Fracciones: En una función racional, se debe excluir del dominio aquellos valores de x que hacen que el denominador sea igual a cero, ya que en estos casos la función no está definida. Por lo tanto, el dominio estará constituido por todos los valores de x para los cuales el denominador no se anula.</span><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Raíces cuadradas: Las funciones que involucran raíces cuadradas solo están definidas para valores de x mayores o iguales que cero, ya que no existen números reales cuyo cuadrado sea negativo.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Logaritmos: En una función logarítmica, el dominio está constituido por todos los valores positivos de x, ya que el logaritmo de un número negativo no está definido en los números reales.</span></p><span style="font-size: medium;">Funciones trigonométricas: El dominio de las funciones trigonométricas puede variar según la función. En el caso de las funciones seno y coseno, el dominio está constituido por todos los números reales, mientras que en el caso de las funciones tangente y cotangente, se deben excluir los valores de x para los cuales el coseno es igual a cero.</span><br /><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">B. Ejemplos de aplicación</span></i></h3><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">f(x) = 1 / (x - 3): En este caso, el denominador se anula para x = 3, por lo que el dominio estará constituido por todos los valores de x distintos de 3, es decir, Dom(f) = R \ {3}.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">g(x) = √(4 - x^2): La función g(x) representa la semicircunferencia superior de radio 2, por lo que el dominio estará constituido por todos los valores de x en el intervalo [-2, 2], es decir, Dom(g) = [-2, 2].</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">h(x) = log(x + 2): En este caso, el dominio estará constituido por todos los valores de x mayores que -2, ya que el logaritmo solo está definido para números positivos. Por lo tanto, Dom(h) = (-2, +∞).</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">k(x) = tan(x): La función tangente se anula en los valores de x para los cuales el coseno es igual a cero, es decir, x = π/2 + kπ, con k ∈ Z. Por lo tanto, el dominio estará constituido por todos los valores de x distintos de estos valores, es decir, Dom(k) = R \ {π/2 + kπ | k ∈ Z}.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><br /></span></p><h1 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">5. Funciones con dominio restringido</span></h1><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Las funciones matemáticas pueden tener restricciones en su dominio, lo que significa que ciertos valores de la variable independiente pueden no ser permitidos o pueden dar lugar a resultados indefinidos. A continuación, se exploran algunas funciones comunes con dominios restringidos:</span></p><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">A. Funciones racionales con restricciones </span></i></h3></div><div><span style="font-size: medium;">Las funciones racionales son aquellas en las que el numerador y el denominador son polinomios. El dominio de una función racional se restringe cuando el denominador se anula, lo que resulta en una división por cero, que no está definida. Para encontrar el dominio de una función racional, se debe encontrar los valores para los cuales el denominador es cero y excluirlos del dominio.</span><br /><br /><span style="font-size: medium;"><b>Ejemplo: </b>Dada la función racional f(x) = (x-3)/(x^2 - 9x + 14), encuentre su dominio.</span><br /><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b>Solución:</b> El denominador se anula en x = 2 y x = 7, por lo que el dominio está restringido a todos los valores de x excepto 2 y 7. Por lo tanto, el dominio de f(x) es: </span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">(-∞, 2) ∪ (2, 7) ∪ (7, ∞).</span></p><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">B. Funciones con valor absoluto </span></i></h3></div><div><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">La función de valor absoluto es una función que da como resultado el valor absoluto de su argumento. El dominio de una función de valor absoluto se restringe cuando el argumento de la función es negativo, ya que el valor absoluto de un número negativo es positivo.</span></p><span style="font-size: medium;"><b>Ejemplo:</b> Dada la función f(x) = |x-2|, encuentre su dominio.</span><br /><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b>Solución:</b> El dominio de f(x) es todos los valores de x para los cuales el argumento de la función es no negativo. Esto se puede expresar como x-2 ≥ 0 o x ≥ 2. Por lo tanto, el dominio de f(x) es [2, ∞).</span></p><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">C. Funciones con raíces cuadradas </span></i></h3></div><div><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">Las funciones con raíces cuadradas tienen restricciones en su dominio porque no se pueden tomar raíces cuadradas de números negativos. Por lo tanto, el dominio se restringe a los valores de x para los cuales el radicando es no negativo.</span></p><span style="font-size: medium;"><b>Ejemplo:</b> Dada la función f(x) = √(4-x), encuentre su dominio.</span><br /><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b>Solución:</b> El radicando debe ser no negativo, lo que significa que 4-x ≥ 0 o x ≤ 4. Por lo tanto, el dominio de f(x) es (-∞, 4].</span></p><h3 style="text-align: left;"><i><span style="color: #990000;">D. Funciones con parámetros </span></i></h3></div><div style="text-align: left;"><p><span style="font-size: medium;">Las funciones con parámetros son aquellas que contienen una variable adicional que puede tomar diferentes valores. El dominio de estas funciones puede cambiar dependiendo del valor del parámetro.</span></p><span style="font-size: medium;"><b>Ejemplo:</b> Dada la función f(x) = (x-2)/(x-a), encuentre su dominio en términos del parámetro a.<br /></span><p style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b>Solución:</b> El denominador no puede ser cero, por lo que el dominio de f(x) es todos los valores de x excepto aquellos para los cuales el denominador se anula. Por lo tanto, el dominio es (-∞, a) ∪ (a, ∞).</span></p><br /><h2 style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;">6. Ejercicios prácticos y resueltos</span></h2><p style="text-align: left;"></p><h3 style="text-align: left;"><span style="color: #990000; font-size: medium;"><i>A. Ejercicios de cálculo de dominio</i></span></h3><span style="font-size: medium;"><ol style="text-align: left;"><li><span style="font-size: medium;">Calcula el dominio de la función f(x) = 2x + 1.</span></li><li>Encuentra el dominio de la función g(x) = (x^2 - 4)/(x - 2).</li><li>Determina el dominio de la función h(x) = √(3 - x).</li></ol></span><p></p></div><div style="text-align: left;"><h3 style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><i><span style="color: #990000;">B. Ejercicios de aplicación de propiedades del dominio</span></i></span></h3></div><div style="text-align: left;"><ol style="text-align: left;"><li><span style="font-size: medium;">Demuestra que la función f(x) = 1/x es continua en su dominio.</span></li><li><span style="font-size: medium;">Encuentra el conjunto de valores de x para los que la función g(x) = ln(x) es creciente.</span></li></ol><h4 style="text-align: left;"><span style="color: #351c75; font-size: large;">Solución:</span></h4><span style="color: #990000; font-size: medium;"><b><i>A. Ejercicios de cálculo de dominio:</i></b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><br /></b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><i><b>1. Dominio de la función f(x) = 2x + 1</b></i>: El dominio de una función es el conjunto de valores de x para los cuales la función está definida. En este caso, la función f(x) = 2x + 1 está definida para todos los valores de x en R, es decir, su dominio es todo el conjunto de números reales. Por lo tanto, el dominio de la función es:<br /><br />Dom(f) = (-∞, ∞)</span></div><div style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><br /></span></div><div style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>2. Dominio de la función g(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)</i></b>: Para calcular el dominio de esta función, debemos tener en cuenta que no se puede dividir entre cero. Por lo tanto, el denominador (x - 2) debe ser diferente de cero. Entonces, podemos escribir:<br /><br />x - 2 ≠ 0 x ≠ 2<br /><br />Por lo tanto, el dominio de la función es el conjunto de todos los valores de x diferentes de 2. Es decir:<br /><br />Dom(g) = (-∞, 2) U (2, ∞)</span></div><div style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><br /></span></div><div style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;"><b><i>3. Dominio de la función h(x) = √(3 - x):</i></b> En este caso, la función está definida sólo para valores de x tales que 3 - x ≥ 0, ya que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida en los números reales. Resolviendo esta desigualdad, obtenemos:<br /><br />3 - x ≥ 0 x ≤ 3<br /><br />Por lo tanto, el dominio de la función es el intervalo (-∞, 3].<br /><br />Dom(h) = (-∞, 3]</span><br /><br /><span style="font-size: medium;"><b><i><span style="color: #990000;">B. Ejercicios de aplicación de propiedades del dominio:</span></i></b><br /><br /><b><i>1. Continuidad de la función f(x) = 1/x en su dominio</i></b>: La función f(x) = 1/x es continua en su dominio, que es el conjunto de todos los valores de x diferentes de cero. Esto se debe a que la función es una función racional y todas las funciones racionales son continuas en su dominio, excepto en los puntos donde el denominador es cero. Como el denominador de la función f(x) nunca es cero en su dominio, la función es continua en todo su dominio.<br /><br /><b><i>2. Conjunto de valores de x para los que la función g(x) = ln(x) es creciente</i></b>: </span></div><div style="text-align: left;"><span style="font-size: medium;">La función g(x) = ln(x) es creciente en su dominio si su derivada es siempre positiva en ese dominio. La derivada de la función g(x) es:<br /><br />g'(x) = 1/x<br /><br />Esta derivada es siempre positiva para valores de x mayores que cero. Por lo tanto, la función g(x) es creciente en su dominio, que es el intervalo (0, ∞).</span></div>Unknownnoreply@blogger.com4P9H+79 Ранчо Маријана, Zacatecas, México23.1181821 -102.2715597-7.7641124663120138 -137.4278097 54.000476666312011 -67.115309699999983