3.2.17

MATEMÁTICAS GRATIS

Clases de Matemáticas gratis


En la mayoría de las situaciones, encontramos estudiantes de primaria, bachillerato y otros niveles, como el universitario, que manifiestan el poco gusto de las matemáticas; esto es un aspecto generalizado. La idea a partir de las diferentes entradas es presentar de manera dinámica, divertida y con la ayuda de vídeos y tutoriales el mundo de ésta materia. Los ejercicios y problemas se desarrollan paso a paso para una clara comprensión. Por tal motivo, muchos de los temas son ejercicios y problemas resueltos de matemáticas en todos los niveles.

Las matemáticas o la matemática es una ciencia que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos). Abarca varios pensamientos como el numérico, variacional, espacial, métrico y aleatorio. Mediante la matemática conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para tal fin. Esto enmarca conceptos un tanto complejos, pero iremos despejando el mundo de la matemática.

Dentro de todos los temas se estudian asignaturas como Aritmética, Álgebra, Trigonometría, cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Cálculo Multivariado, Ecuaciones Diferenciales, Geometría, Geometría Analítica, Estadística, Probabilidad, matemática financiera, Contabilidad, Economía y otras.

Entorno de las matemáticas


A menudo se piensa que el estudio de la matemática es solo para un sector de personas que tienen intereses y capacidades especiales; todos tenemos capacidades especiales y las habilidades se alcanzan a medida que focalizamos nuestro empeño y esfuerzo para conseguirlas.
Asesorías En línea de matemáticas
Utilizando técnicas de aprendizaje por descubrimiento y aplicando las herramientas tecnológicas de hoy en día, hacemos del estudio de la matemática una experiencia muy agradable y más eficaz. Implementamos matemática en línea, para que el alumno en cualquier parte del mundo reciba por internet acompañamiento permanente en el estudio de ésta materia.

Zona on line

Mediante refuerzos en línea, encaminamos al alumno a potencializar la comprensión y aplicación de la matemática no solo en su ambiente académico, sino en el mundo real que nos rodea, para usarla como herramienta práctica.

¿Es la matemática tu tema favorito o el tema más odiado en la escuela? ¿Busca ayuda de matemáticas gratis online, procesos divertidos de aprendizaje en las matemáticas y otros recursos de utilidad? En este sitio, usted encontrará interesantes cuestionarios, prácticas, ayuda con las tareas, vídeos, ejercicios resueltos paso a paso, problemas resueltos y otros materiales de gran importancia. También podemos encontrar simuladores, juegos, acertijos y otras cosas interesantes para hacer de este tema algo para ser disfrutado. La prioridad es divertirse mientras aprenden algunas habilidades claves para mejorar tus calificaciones.

Para padres, maestros y educadores, hay un montón de materiales que se pueden visualizar en este sitio para la enseñanza y el aprendizaje en línea. ¡Encontrar cosas interesantes y divertidas para ayudar a sus hijos, estudiantes y niños a disfrutar, apreciar y aprender acerca de los número, aritmética, fracciones, cálculo, geometría, estadísticas, teoría de conjuntos, trigonometría y álgebra, matrices y mucho más!

25.1.15

EJERCICIO DE UTILIDAD, INGRESO TOTAL Y COSTO TOTAL - Matemática para Administración y Economía

EJERCICIO DE UTILIDAD, INGRESO TOTAL Y COSTO TOTAL - Matemática para Administración y Economía.

Podemos establecer que el beneficio total de una empresa se determina por la diferencia entre sus ingresos totales y sus costos totales, donde los costos totales se calculan sumando los costos variables y los costos fijos. 

Una empresa logra maximizar sus ganancias o beneficios totales a corto plazo en el punto en el cual se encuentra la mayor diferencia positiva entre sus ingresos totales y sus gastos totales.

Los ejercicios resueltos de utilidad, ingreso total y costo total, nos permiten tomar habilidades que nos permiten estudiar y dominar las matemáticas para administración y economía.

Es de gran importancia practicar problemas y ejercicios de administración y ejercicios de economía.

A continuación presentamos un problema para su planteamiento; luego éste lo resolvemos paso a paso en el próximo vídeo.

PROBLEMA Y EJERCICIO RESUELTO:

Una compañía fabrica un producto para el cual el costo variable por unidad es de $6 y el costo fijo de $80.000. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determine el número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de $60.000.


Para una empresa competitiva la maximización de todas sus utilidades dependerá básicamente de los ingresos obtenidos por las unidades que ésta logre producir y vender al precio fijado por el mercado, a todo ésto se le debe restar los costos de producción y demás.

Debido a que la empresa en un mercado perfectamente competitivo no puede influir sobre el mercado limitando su producción para obtener un precio mayor, como tampoco puede reducir sus precios para aumentar sus ventas, no tiene más remedio que aceptar el precio del mercado.

Utilidad en la Empresa

Teniendo en cuenta lo anterior para maximizar sus utilidades la empresa trata de ajustar sus volúmenes de producción de tal forma que obtenga con el precio fijado por el mercado la máxima utilidad posible, teniendo en cuenta la estructura de costos que tenga.

INGRESOS: 

Los ingresos corrientes de una empresa cooperativa resultan de las ventas. En otras palabras, los ingresos son iguales a la cantidad vendida, multiplicada por el precio unitario y en el caso de una cooperativa de servicios financieros, el total de ingresos está representado por la suma total de los servicios prestados, multiplicados por la tarifa establecida. Sin embargo, esos cálculos fríos esconden las verdaderas razones del ingreso de una actividad económica, éstas dependen de dos comportamientos: el del consumidor y el del empresario. Seguidamente, se analiza cada uno de ellos.  

Los Costos Variables son todos aquellos costos que mantienen una relación directa con las cantidades producidas y varían de manera proporcional, con el uso de la capacidad instalada. De esta manera, un costo variable típico consiste en el consumo de las materias primas directas.

3.6.14

EJERCICIOS DE MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

EJERCICIOS DE MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Como multiplicar dos matrices:

La multiplicación de matrices se divide en dos categorías generales:

Por un escalar en los que un número se multiplica con cada entrada de una matriz.

Multiplicación de toda una matriz por otra matriz entera, la multiplicación de matrices en ésta entrada se referirá a esta segunda categoría.

¿Qué es la multiplicación de la matriz?

Usted puede multiplicar dos matrices si, y sólo si, el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz.

De lo contrario, el producto de dos matrices no está definido.
Las dimensiones de la matriz producto son:

(filas de la primera matriz) × (columnas de la segunda matriz)

EJERCICIO RESUELTO


\begin{pmatrix}
2  &0  \\
4  &6  \\
8  &2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1  &3  \\
5  &7
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2\cdot 1+0\cdot 5  &2\cdot 3+0\cdot 7  \\
4\cdot 1+6\cdot 5  &4\cdot 3+6\cdot 7  \\
8\cdot 1+2\cdot 5  &8\cdot 3+2\cdot 7
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2  &6  \\
34  &54 \\
18  &38
\end{pmatrix}

La multiplicación de matrices casi nunca es conmutativa. Veamos que pasa al multiplicar matrices en ambos sentidos.


\begin{pmatrix}
1  &2  \\
3  &4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5  &6  \\
7  &8
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
19  &22  \\
43  &50
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
5  &6  \\
7  &8
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1  &2  \\
3  &4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
23  &34  \\
31  &46
\end{pmatrix}

EJERCICIOS RESUELTOS EN VÍDEO

Introducción a las Matrices.
En éste primer vídeo podemos estudiar los conceptos preliminares sobre las matrices y su orden; esto nos permitirá manejar de forma adecuada los conceptos básicos.



Cómo multiplicar matrices

Una matriz es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones en filas y columnas. Para multiplicar matrices, tendrá que multiplicar los elementos (o números) de la fila de la primera matriz por los elementos de las filas de la segunda matriz. Puede multiplicar matrices en tan sólo unos sencillos pasos que veremos a continuación en el siguiente vídeo.



En términos generales tenemos que la multiplicación de dos matrices no es conmutativa, esto es:

\mathbf{A}\mathbf{B} \neq \mathbf{B}\mathbf{A}

EJERCICIO DE MULTIPLICACIÓN DE MATRICES


\begin{align}
\begin{pmatrix}
{\color{Brown}1} & {\color{Orange}2} &

{\color{Violet}3} \\
{\color{Brown}4} & {\color{Orange}5} &

{\color{Violet}6} \\
{\color{Brown}7} & {\color{Orange}8} &

{\color{Violet}9} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
{\color{Brown}a} & {\color{Brown}d} \\
{\color{Orange}b} & {\color{Orange}e} \\
{\color{Violet}c} & {\color{Violet}f} \\
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
{\color{Brown}1} \\
{\color{Brown}4} \\
{\color{Brown}7}  \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
{\color{Brown}{a}} & {\color{Brown}{d}} \\
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
{\color{Orange}2} \\
{\color{Orange}5} \\
{\color{Orange}8}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
{\color{Orange}{b}} & {\color{Orange}{e}} \\
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
{\color{Violet}3} \\
{\color{Violet}6} \\
{\color{Violet}9}  \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
{\color{Violet}c}  & {\color{Violet}f}  \\
\end{pmatrix}
\\&=
\begin{pmatrix}
{\color{Brown}{1a}} & {\color{Brown}{1d}} \\
{\color{Brown}{4a}} & {\color{Brown}{4d}} \\
{\color{Brown}{7a}} & {\color{Brown}{7d}} \\
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
{\color{Orange}{2b}} & {\color{Orange}{2e}} \\
{\color{Orange}{5b}} & {\color{Orange}{5e}} \\
{\color{Orange}{8b}} & {\color{Orange}{8e}} \\
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
{\color{Violet}{3c}} & {\color{Violet}{3f}} \\
{\color{Violet}{6c}} & {\color{Violet}{6f}} \\
{\color{Violet}{9c}} & {\color{Violet}{9f}} \\
\end{pmatrix}
\\&=
\begin{pmatrix}
{\color{Brown}{1a}} + {\color{Orange}{2b}} + {\color{Violet}{3c}} & {\color{Brown}{1d}} + {\color{Orange}{2e}} + {\color{Violet}{3f}} \\
{\color{Brown}{4a}} + {\color{Orange}{5b}} + {\color{Violet}{6c}} & {\color{Brown}{4d}} + {\color{Orange}{5e}} + {\color{Violet}{6f}} \\
{\color{Brown}{7a}} + {\color{Orange}{8b}} + {\color{Violet}{9c}} & {\color{Brown}{7d}} + {\color{Orange}{8e}} + {\color{Violet}{9f}} \\
\end{pmatrix}.
\end{align}

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES 3X3

Ejercicio resuelto paso a paso de cómo resolver el producto de dos matrices de tamaño tres por tres, veamos los ejemplos:

TEOREMA DEL BINOMIO - Ejercicios resueltos

TEOREMA DEL BINOMIO

El teorema del binomio

El teorema del binomio es un teorema fundamental del álgebra que se utiliza para expandir expresiones de la forma:



donde n puede ser cualquier número.

El teorema del binomio se presenta de la siguiente manera:




pero cuando se comprime se convierte en:







Las ecuaciones anteriores son bastante complicadas, pero vas a entender lo que significa cada componente si nos fijamos en el apartado de combinaciones antes de mirar el teorema del binomio. El resto debería ser más claro en el momento en que haya terminado con esta entrada.

Antes veamos algunos ejemplos importantes:



El teorema del binomio es importante porque a medida que n se hace más grande, las expresiones tienden a ser mucho más complicadas.

Por ejemplo:








Como se puede ver, lo anterior es relativamente complicado y necesitaríamos tomar un tiempo para ampliarlo a la forma final, por lo que surge la necesidad de alguna forma de hacer que la expansión   sea mucho más rápida de resolver y que sea también más fácil.

Los coeficientes de cada término en la expresión anterior son:  {1, 6, 15, 20, 15, 6, 1}

y estos se denominan coeficientes binomiales. Estos son también los números que corresponden a la posición 6 en el Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal 

El triángulo de Pascal se refiere a un triángulo de números con cada fila posterior correspondiente al siguiente número entero de cero en adelante. Estos números también resultan ser los coeficientes binomiales

La matemática detrás de triángulo de Pascal es un poco más avanzada, pero el propio triángulo es muy simple. A continuación se muestra el triángulo de Pascal para los primeros números de cero a ocho.



EJERCICIOS DE SUMA Y RESTA DE MATRICES

EJERCICIOS RESUELTOS DE SUMA Y RESTA DE MATRICES

Ejemplo: una matriz con 3 filas y 5 columnas se puede añadir a otra matriz de 3 filas y 5 columnas.
Pero no se podría agregar a una matriz con 3 filas y 4 columnas (puesto que las columnas no coinciden en tamaño)

La suma de matrices es la operación de sumar dos matrices mediante la adición de las entradas correspondientes juntas.

EJERCICIOS RESUELTOS


  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    1 & 0 \\
    1 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 \\
    7 & 5 \\
    2 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 \\
    1+7 & 0+5 \\
    1+2 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    8 & 5 \\
    3 & 3
  \end{bmatrix}

También podemos restar una matriz de otra, siempre que tengan las mismas dimensiones.

A - B se calcula restando elementos correspondientes de A y B, y tiene las mismas dimensiones que A y B. Por ejemplo:


\begin{bmatrix}
 1 & 3 \\
 1 & 0 \\    
 1 & 2
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
 0 & 0 \\
 7 & 5 \\
 2 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 1-0 & 3-0 \\
 1-7 & 0-5 \\
 1-2 & 2-1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 1 & 3 \\
 -6 & -5 \\
 -1 & 1
\end{bmatrix}

SUMA Y RESTA DE MATRICES

En el siguiente vídeo se consignan más ejemplos de suma y resta con matrices de mayor tamaño ( matrices 3x3)


Matriz: Suma y Resta

Las matrices se pueden sumar o restar la una de la otra solamente si tienen el mismo tamaño, lo que significa que tienen que tener el mismo número de filas y columnas. Esto se debe a que al añadir o restar matrices, los operadores trabajan en las entradas correspondientes de las matrices, de ahí la necesidad del mismo tamaño.

Veamos la forma de la Matrix, como se muestra en estas dos matrices A y B de tamaño 2 x 2









EJERCICIO RESUELTO






     

EJEMPLOS DE SUMA Y RESTA DE MATRICES




EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESION GEOMETRICA

EJERCICIOS DE PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

una progresión geométrica que es también conocida como una secuencia geométrica, es sencillamente una secuencia de números, donde cada término después del primero se encuentra multiplicando el anterior por un número fijo distinto de cero llamado la razón común. Ejemplo, la secuencia de 2, 8, 32, 128, ... es una progresión geométrica con razón común de 4. Del mismo modo 10, 5, 2.5, 1.25, ... es una secuencia geométrica con razón común 1/2.

Ejemplos de una secuencia geométrica se pueden establecer con una potencia:  rde un número r fijo, como  2k y 5k

La forma general de una progresión geométrica es:

a,\ ar,\ ar^2,\ ar^3,\ ar^4,\ \ldots

donde r ≠ 0 es la razón común y a es un factor de escala, igual a valor de inicio de la secuencia.

El término enésimo de una progresión geométrica con un valor inicial y razón común r está dada por

a_n = a\,r^{n-1}.

Tal secuencia geométrica también sigue la relación establecida como:

a_n = r\,a_{n-1}  donde n es un entero y  n\geq 1.

Generalmente, para comprobar si una secuencia dada es geométrico, uno simplemente comprueba si las entradas sucesivas en la secuencia de todas tienen la misma relación.

La razón común de una serie geométrica puede ser negativa, lo que resulta en una secuencia alterna, con los números de conmutación de positivo a negativo y viceversa. Por ejemplo

1, -3, 9, -27, 81, -243, ...
es una secuencia geométrica con relación común de -3.

EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Presentamos algunos problemas resueltos paso a paso para reforzar y afianzar los procedimientos. El vídeo muestra varios aspectos importantes.



El comportamiento de una secuencia geométrica depende del valor de la razón común.Si la relación común es:

  • Positiva, los términos serán todos del mismo signo que el término inicial.
  • Negativa, los términos se alternarán entre positivo y negativo.
  • Mayor que 1, habrá un crecimiento exponencial hacia el infinito positivo o negativo (según el signo del término inicial).
  • 1, la progresión es una secuencia constante.
  • Entre -1 y 1, pero no cero, habrá decaimiento exponencial a cero.
  • -1, La progresión es una secuencia alterna
  • Menos de -1, para los valores absolutos hay un crecimiento exponencial hacia (sin signo) el infinito, debido a la señal alterna.

PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

A continuación tenemos la solución a dos problemas propuestos.



Un resultado interesante de la definición de una progresión geométrica es que para cualquier valor de la razón común, cualquiera de los tres aspectos consecutivos a, b y c tendrán que satisfacer la siguiente ecuación:

b^2=ac

donde b se considera que es la media geométrica entre a y c.

EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESIÓN ARITMÉTICA Y PROGRESIÓN GEOMÉTICA

Veamos en un mismo vídeo tanto la progresión aritmética como la progresión geométrica y encontrar las semejanzas y las diferencias entre éstas dos secuencias.


serie geométrica

Una serie geométrica es la suma de los números en una progresión geométrica. Por ejemplo:

2 + 10 + 50 + 250 = 2 + 2 \times 5 + 2 \times 5^2 + 2 \times 5^3. \,

Si tenemos que el primer término (en este caso 2), m el número de términos (en este caso 4), y r sea la constante de que cada término se multiplica por conseguir la próxima cantidad (en este caso 5), la suma está dada por:

\frac{a(1-r^m)}{1-r}

En el ejemplo anterior, si resolvemos con la fórmula planteada, tenemos que:

2 + 10 + 50 + 250 = \frac{2(1-5^4)}{1-5} = \frac{-1248}{-4} = 312.

EJEMPLOS DE SERIES GEOMÉTRICAS

2.6.14

TEOREMA DE LA BISECTRIZ ejercicio resuelto

TEOREMA DE LA BISECTRIZ

En geometría, el ángulo bisectriz ó teorema de la bisectriz se refiere a las longitudes relativas de los dos segmentos de ese lado de un triángulo que está dividido por una línea que divide en dos el ángulo opuesto. Se equipara sus longitudes relativas a las longitudes relativas de los otros dos lados del triángulo. 

Considere un triángulo ABC. Deje que la bisectriz del ángulo A se cruza con el lado BC en un punto D. El teorema de la bisectriz afirma que la relación de la longitud del segmento de línea BD a la longitud del segmento DC es igual a la relación de la longitud del lado AB para la longitud del lado AC.

El teorema de la bisectriz del ángulo se utiliza comúnmente cuando se conocen las bisectrices de los ángulos y las longitudes de los lados. 

Una bisectriz de un ángulo de un triángulo isósceles también divide en dos el lado opuesto, cuando la bisectriz del ángulo biseca el ángulo del vértice del triángulo.


Demostración del Teorema de la Bisectriz

Bisectrices de los ángulos en un triángulo tienen una propiedad característica de dividir el lado opuesto en la relación de los lados adyacentes. Más exactamente,
Deje AD - D con el BC - ser la bisectriz de ∠ A en ΔABC. Si b = AC, c = AB, m = CD, y n = BD, a continuación,
b / c = m / n.



El teorema de ángulo bisectriz implica una proporción al igual que con los triángulos semejantes. Pero tenga en cuenta que usted nunca consigue triángulos semejantes cuando biseca un ángulo de un triángulo (a menos que usted biseca el ángulo del vértice de un triángulo isósceles, en cuyo caso la bisectriz divide el triángulo en dos triángulos congruentes).

Por alguna razón, los estudiantes a menudo se olvidan de este teorema. Así que cada vez que vea un triángulo con uno de sus ángulos bisectados, considere el uso del teorema.




EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESION ARITMETICA

EJERCICIOS DE PROGRESIÓN ARITMÉTICA

En matemáticas, una progresión aritmética (PA) o una secuencia aritmética es una secuencia de números tales que la diferencia entre los términos consecutivos es constante. Por ejemplo, la secuencia 4, 9, 14, 19, 24, 29 ... es una progresión aritmética con diferencia común de 5 y cuyo primer término es 4.

Una cantidad de términos  finito de una progresión aritmética se llama una progresión aritmética finita y a veces se nombra simplemente como progresión aritmética. 

La suma de una progresión aritmética finita se llama una serie aritmética

El comportamiento de la progresión aritmética depende de la diferencia común (d). Si la diferencia común es: 
Positiva, los miembros (términos) crecerán hacia el infinito positivo. 
Negativa, los miembros (términos) crecerán hacia el infinito negativo.

Por una progresión aritmética de términos m, nos referimos a una secuencia finita de la forma 
a, a + d, a + 2d, 3d A +,. . . , A + (m - 1) d. 
El número real a se llama el primer término de la progresión aritmética y el número real d se llama la diferencia de la progresión aritmética.

Veamos en el siguiente tutorial un ejercicio resuelto paso a paso.

EJERCICIO SOBRE PROGRESIÓN ARITMÉTICA




Ejercicio resuelto 01

Considere la secuencia de números
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23.
Esta secuencia tiene la propiedad de que la diferencia entre los términos sucesivos es constante e igual a 2.
Aquí tenemos: a = 1; d = 2.

Ejercicio resuelto 02

Considere la secuencia de números
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32.
Esta secuencia tiene la propiedad de que la diferencia entre los términos sucesivos es constante e igual a 3.
Aquí tenemos: a = 2; d = 3.

Secuencia aritmética

progresión aritmética

Una secuencia como 1, 5, 9, 13, 17 o 12, 7, 2, -3, -8, -13, -18, que tiene una diferencia constante entre los términos. El primer término es a1, la diferencia común es d, y el número de términos es n.

Fórmula explícita dela progresión aritmética:

an =  a1 + d ( n – 1 ) 

Ejemplo 1: 

3, 7, 11, 15, 19 tiene A1 = 3, d = 4,
y n = 5. La fórmula explícita es
un = 3 + (n - 1) · 4 = 4n - 1

Ejemplo 2:
3, -2, -7, -12 tiene a1 = 3, d = -5,
y n = 4. La fórmula explícita es
an = 3 + (n - 1) (-5) = 8 - 5n

Ejemplos de progresiones aritméticas



La Progresión aritmética. 

La secuencia numérica, en el que cada término siguiente a partir de la segunda es igual al término anterior, añadido con la constante para este número de secuencia d, se llama una progresión aritmética. El número d se llama diferencia común. Cualquier término de una progresión aritmética se calcula mediante la fórmula: 

an =  a1 + d ( n – 1 )

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON FRACCIONARIOS

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON FRACCIONARIOS

Las ecuaciones que contienen fracciones

Acomode las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Luego resuelve la ecuación mediante la aplicación de las operaciones convenientes a ambos lados de la misma.

Proceso de Resolución de ecuaciones lineales

Si la ecuación contiene fracciones utiliza el mínimo común denominador para borrar las fracciones. Haremos esto multiplicando ambos lados de la ecuación por el común denominador.

Además, si hay variables en los denominadores de las fracciones se debe identificar los valores de la variable que dará a la división por cero ya que necesitaremos para evitar estos valores en nuestra solución.

Simplificar ambos lados de la ecuación. Esto significa la eliminación de cualquier paréntesis y combina los términos semejantes.

Utilice los dos primeros hechos anteriores para obtener todos los términos con la variable en un lado de las ecuaciones y todas las constantes en el otro lado .

Tenga en cuenta que por lo general sólo dividimos ambos lados de la ecuación por el coeficiente si se trata de un número entero o multiplicar ambos lados de la ecuación por el recíproco del coeficiente si se trata de una fracción .

ECUACIONES LINEALES CON FRACCIONES



VERIFICAR SU RESPUESTA

Este es el último paso y el paso que más a menudo se omite, sin embargo, es probablemente el paso más importante en el proceso . Con este paso se puede saber si tienes la respuesta correcta mucho antes de que su instructor nunca lo revise. Verificamos la respuesta conectando los resultados de los pasos anteriores en la ecuación original . Es muy importante revisar la ecuación original, ya que puede haber cometido un error en el primer paso que de lugar a una respuesta incorrecta.

Además, si hubo fracciones en el problema y no había valores de la variable que dan a la división por cero (recuérdese el primer paso), es importante asegurarse de que uno de estos valores no terminan en el conjunto solución .

EJERCICIOS RESUELTOS



ECUACIONES LINEALES Ejercicios resueltos

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES LINEALES

Una ecuación lineal es una ecuación algebraica en la que cada término es una constante o el producto de una constante y la variable es de grado uno para las ecuaciones lineales de primer grado que son las que trataremos en esta entrada.

Las ecuaciones lineales pueden tener una o más variables. Las ecuaciones lineales se producen abundantemente en la mayoría de las áreas de las matemáticas y sobre todo en las matemáticas aplicadas.

Mientras que surjan de forma natural al modelar muchos fenómenos, que son particularmente útiles ya que muchas ecuaciones no lineales se pueden reducir a ecuaciones lineales por el supuesto de que las cantidades de interés varían de sólo una pequeña parte de algún estado.

Las Ecuaciones lineales no incluyen exponentes. En esta entrada se considera el caso de una sola ecuación para el que uno busca las soluciones reales. Ahora podemos revisar el siguiente vídeo como una introducción para comprender todos los despejes necesarios.

Ecuaciones lineales - Ejercicios resueltos


Ecuaciones lineales con una incógnita

Una ecuación lineal se presenta como cualquier otra ecuación. Se compone de dos expresiones establecidas iguales entre sí.
Una ecuación lineal es especial debido a lo siguiente:

  • Tiene una o dos variables. 
  • Ninguna variable en una ecuación lineal se eleva a una potencia superior a 1 o se utiliza como denominador de una fracción. 

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

En el siguiente tutorial mostramos varios ejercicio sobre ecuaciones vinculando también la destrucción de paréntesis.



SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ejercicios

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Antes de evaluar una expresión algebraica, es necesario simplificarla. Esto hará que todos sus cálculos sean mucho más fácil.

A continuación estos son los pasos básicos a seguir para simplificar una expresión algebraica:
  • aplicar paréntesis por factores 
  • utilizar reglas de los exponentes para eliminar paréntesis en términos con exponentes 
  • combinar términos semejantes añadiendo coeficientes 
  • combinar las constantes
Para simplificar una expresión algebraica, nos referimos a la escritura de la manera más compacta o eficiente, sin cambiar el valor de la expresión. Se trata principalmente de la reducción de términos semejantes, lo que significa que sumamos todo lo que se pueden sumar. La regla aquí es que sólo los términos semejantes se pueden sumar.

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS




Aprender a simplificar expresiones algebraicas es una parte clave para dominar el álgebra básica y una herramienta muy valiosa para todos los matemáticos o individuos que utilicen la matemática.

La simplificación permite cambiar una compleja y larga expresión en una más simple o más conveniente que es equivalente a la primera. Siguiendo unos sencillos pasos, es posible simplificar muchos de los tipos más comunes de expresiones algebraicas y sin ningún tipo especial de conocimiento matemático. 

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS



para los dos términos que son semejantes, estos deben tener la misma variable o las variables, y cada variable se deben levantar a la misma potencia. El orden de las variables no importa.

Utilice el acrónimo para recordar el orden de las operaciones. A veces, simplificar una expresión significa nada más que la realización de las operaciones en la expresión hasta que no se puede hacer más. En estos casos, es importante recordar el orden de las operaciones de manera que se puedan evitar errores aritméticos. Generalmente el orden para las operaciones es el siguiente:

  • paréntesis 
  • exponentes 
  • multiplicación 
  • división 
  • adición 
  • sustracción

TASA EFECTIVA Y TASA NOMINAL Ejercicios resueltos

PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE TASA EFECTIVA Y TASA NOMINAL

El término "tasa de interés" es una de las frases más utilizadas en la financiación al consumo y las inversiones de renta fija. Por supuesto, hay varios tipos de tasas de interés: reales, nominales, efectivas, anuales y así sucesivamente. Las diferencias entre los distintos tipos de tasas, como nominal y real, se basan en varios factores económicos claves. Pero mientras estas variables técnicas pueden parecer triviales a las instituciones de crédito, los minoristas han estado tomando ventaja de la ignorancia general de la opinión pública de estas distinciones en el rastrillo de cientos de miles de millones de dólares a lo largo de los años. Por lo tanto, aquellos que entienden la diferencia entre las tasas de interés nominales y reales han dado un gran paso para convertirse en consumidores y los inversores más inteligentes.

EJERCICIOS RESUELTOS DE TASA EFECTIVA Y TASA NOMINAL




En las finanzas y la economía, la tasa de interés nominal o la tasa de interés nominal se refiere a dos cosas distintas: la tasa de interés antes del ajuste por inflación (en contraste con la tasa de interés real); o para los tipos de interés "según lo indicado" sin ajuste por el efecto total de la capitalización (también conocida como la tasa nominal anual). Una tasa de interés nominal se llama según la frecuencia de la capitalización (por ejemplo, un mes) no es idéntico a la unidad de tiempo básica (normalmente un año).

CONCEPTO DE TASA DE INTERÉS EFECTIVA


Tasa de interés efectiva

Otro tipo de tasa de interés que los inversores y los prestatarios deben saber se llama la tasa efectiva, que tiene el poder de la composición en cuenta. Por ejemplo, si un bono paga 6% sobre una base anual y compuestos semestralmente, a continuación, un inversor que invierte $ 1,000 en este vínculo recibirá $ 30 de interés después de los primeros 6 meses ($ 1.000 x 0,03), y $ 30.90 de interés después de los próximos 6 meses ($ 1.030 x 0,03). El inversionista recibió un total de $ 60.90 para el año, lo que significa que, si bien la tasa nominal fue del 6%, la tasa efectiva fue del 6,09%. Matemáticamente hablando, la diferencia entre las tasas nominales y efectivas aumenta con el número de períodos de capitalización dentro de un período de tiempo específico.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE TASA EFECTIVA Y TASA NOMINAL


Aplicaciones de las tasas de interés

La principal ventaja de conocer la diferencia entre las tasas nominales, reales y efectivas es que permite a los consumidores a tomar mejores decisiones acerca de sus préstamos e inversiones. Un préstamo con frecuentes períodos de capitalización será más caro que uno que se compone anualmente. Un vínculo que sólo paga una tasa de interés real del 1% puede no valer la pena en el tiempo de los inversores si buscan hacer crecer sus activos en el tiempo. Estas tasas revelan efectivamente el verdadero retorno que será publicado por una inversión en renta fija y el verdadero costo de los préstamos para una persona o empresa.


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Interés Compuesto
Interés Simple

Ejercicios resueltos de ECUACIONES LOGARÍTMICAS

EJERCICIOS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS

El primer tipo de ecuación logarítmica tiene dos situaciones, donde cada una contiene la misma base.

En esta entrada ahora vamos a echar un vistazo con vídeos tutoriales que describen los procesos paso a paso dentro de la resolución de ecuaciones logarítmicas, o ecuaciones con logaritmos.

En particular, vamos a ver ecuaciones en las que cada término es un logaritmo y también mirar las ecuaciones en el que todos menos un término en la ecuación es un logaritmo y el término sin que el logaritmo será una constante. Además, vamos a asumir que los logaritmos de cada ecuación, tendrán la misma base. Si hay más de una base en los logaritmos en la ecuación el proceso de solución se vuelve un poco más difícil.

Antes de entrar en el proceso de solución tendremos que recordar que sólo podemos conectar los números positivos en un logaritmo, es decir que sólo podemos sacar logaritmo a una cantidad positiva.

Para comenzar el estudio de las ecuaciones logarítmicas es prudente observar le siguiente vídeo sobre las propiedades de los logaritmos:

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Con mucha frecuencia utilizamos estas propiedades para resolver algunas ecuaciones.


EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES CON LOGARITMOS

Los siguientes vídeos describen los procesos para resolver ecuaciones que contienen logaritmos. Los procesos se presentan de manera detallada. veamos:



En la resolución de ecuaciones con logaritmos es importante ver sus posibles soluciones para asegurarse de que no generan logaritmos de números negativos o cero. También es importante asegurarse de hacer las comprobaciones en la ecuación original.

También tenga cuidado en la resolución de ecuaciones que contengan logaritmos para no quedar atrapados en la idea de que obtendrá dos soluciones posibles y sólo una de ellas va a funcionar. Es posible tener problemas en los que ambas son soluciones y donde ninguna son las soluciones.

ECUACIONES CON LOGARITMOS

En este tutorial le guiaremos a través de la forma de resolver ecuaciones que tienen expresiones logarítmicas. En estas ecuaciones, se dará cuenta que la variable que estamos solucionando está dentro de las expresiones de registro.

ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio resuelto

Estos son problemas de práctica para ayudarle a llegar al siguiente nivel. Se le permitirá comprobar y ver si usted tiene una comprensión de este tipo de problemas. Recuerda que las matemáticas funcionan igual que cualquier otra disciplina, si quieres ser bueno en ello, entonces usted necesita practicarlo de manera regular.


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Ecuaciones Exponenciales

Ejercicios resueltos de ECUACIONES EXPONENCIALES

Problemas resueltos de ECUACIONES EXPONENCIALES

Para resolver ecuaciones exponenciales sin logaritmos, es necesario tener ecuaciones con expresiones exponenciales comparables sobre ambos lados de la ecuación determinada, para que pueda comparar las potencias y resolver el problema. En otras palabras, usted tiene que tener alguna base en una potencia y que las potencias tengan la misma base, y resolver la ecuación resultante. Por ejemplo:

5x = 57

Notamos que las bases son iguales, por lo tanto los exponentes serán también iguales, de aquí podemos decir que:

x = 5

Esta solución es muestra de cómo se resuelve esta clase de ecuaciones: 

si las bases son las mismas, entonces los exponentes también deben ser los mismos, a fin que los dos lados de la ecuación sean iguales entre sí.

Veamos los ejercicios resueltos de ECUACIONES EXPONENCIALES en los siguientes vídeos:


ECUACIONES EXPONENCIALES

A veces, usted primero necesita convertir un lado a que sea equivalente al otro en cuanto a sus bases.
A continuación tenemos más ejercicios y problemas resueltos para practicar y reforzar el tema:


Problemas de ecuaciones exponenciales:

Una ecuación exponencial es una ecuación en donde la variable se produce en el exponente.

Una ecuación exponencial en la que cada lado se puede expresar en
términos de la misma base se pueden resolver mediante las propiedades que tenemos en el siguiente vídeo:


Ejercicios resueltos en vídeo de ecuaciones exponenciales:

Tenemos otros ejercicios sobre ecuaciones exponenciales para afianzar la solución de problemas:



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Ecuaciones Logarítmicas

6.4.14

Tablas de verdad proposiciones compuestas. Ejemplos

TABLAS DE VERDAD. PROPOSICIONES COMPUESTAS

En esta entrada mostramos las tablas de verdad como introducción a la lógica matemática. Dentro de los temas a tratar están incluidos aspectos como la conjunción, la disyunción, la implicación o condicional, la bicondicional o equivalencia y la negación.

Dentro del campo de la lógica matemática es conveniente iniciar este estudio con las tablas de verdad que involucran las proposiciones simples y compuestas.

Las Proposiciones Compuestas

Una proposición compuesta es una oración; consta de uno o varios sujetos y de un predicado que afirma algo en torno a estos sujetos. Los sujetos de una proposición simple deben ser todos términos singulares. El predicado debe contener un verbo que exprese la acción sobre los sujetos.

En las proposiciones, El valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1.

El valor falso se representa con la letra F; si se emplea notación numérica se expresa con cero: 0.


Entre proposiciones podemos establecer las siguientes relaciones:

  1. Negación
  2. Conjunción
  3. Disyunción
  4. Implicación o condicional
  5. Equivalencia o bicondicional

En el siguiente vídeo presentamos un ejercicio paso a paso para completar una tabla de verdad de una proposición compleja.



Ejercicio resuelto:

Tabla de verdad de la negación

Si una proposición es verdadera, su negación es falsa y si una proposición es falsa, su negación será verdadera, veamos:


Tabla de verdad de la conjunción

En la conjunción la proposición compuesta sólo es verdadera si las dos proposiciones simples son ambas verdaderas.


Tabla de verdad de la disyunción

Para la disyunción la proposición compuesta sólo es falsa cuando las dos proposiciones simples son falsas.


Tabla de verdad de la implicación o condicional

En este caso la proposición compuesta sólo es falsa si la primera es verdadera y la segunda es falsa, en los demás casos es verdadera.


Tabla de verdad de la equivalencia o bicondicional

Si las dos proposiciones simples son iguales (ambas verdaderas ó ambas falsas), la proposición compuesta es verdadera; si las dos proposiciones simples son diferentes (una verdadera y otra falsa), la proposición compuesta es falsa.

Esto se parece a la ley de los signos: signos iguales da más y signos diferentes da menos. Veamos la tabla:




12.3.14

Representacion Fraccionaria de un Número Decimal

Representación Fraccionaria de un Número Decimal. Ejemplos Ejercicios resueltos

Los números decimales que son finitos y los decimales infinitos periódicos se puede representar como fracción o como racional de la forma a/b

Teniendo esto cuenta podemos establecer los siguiente puntos para proceder a resolver los ejercicios.

  • Si la cantidad es un decimal finito se plantea una fracción donde el numerador corresponde al número decimal sin la coma y el denominador es una potencia de diez cuyo exponente coincide con la cantidad de cifras decimales del número.
  • En caso que la cantidad sea un decimal periódico se plantean ecuaciones de tal forma que se elimine el periodo y se pueda establecer el fraccionario pedido.
Ahora podemos plantear varios ejemplos resueltos en vídeo.

En los vídeos se presentan los ejercicios resueltos paso a paso, más que todo de la forma de convertir los decimales infinitos periódicos a racionales debido a que es un proceso de más cuidado.


Convertir decimales periódicos en fracciones de forma rápida.

Ahora tenemos una sugerencia en vídeo para transformar un decimal periódico en fracciones pero de forma rápida.

Los pasos dentro de vídeo se presentan paso por paso con una explicación detallada.




Dentro de los cursos de matemáticas es muy conveniente adquirir la habilidad de pasar decimales, ya sean finitos o infinitos periódicos a su expresión como fracción.

Si analizamos con cuidado el siguiente vídeo y practicamos lo expuesto podemos desenvolvernos de forma muy adecuada en éstos aspectos.

Recomiendo el siguiente vídeo para reforzar y practicar.

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